3.2.1 双曲线及其标准方程（精练）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修一.docx

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3.2.1双曲线及其标准方程（精练）

1．（2023·内蒙古兴安盟）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的点，且，则（????）

A．3 B．15 C．3或15 D．6或12

【答案】C

【解析】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，则

由题意知：，，所以，

由双曲线的定义知，，

又∵，∴或，经检验，或都符合条件.故选：C.

2．（2023安徽）已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（????）

A．3或7 B．6或14 C．3 D．7

【答案】A

【解析】设双曲线的右焦点为，连接，是的中位线，∴，

∵，，∴或，∴或，故选：A.

?

3．（2023秋·高二课时练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，，又动点满足，

动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，

则有，动点的轨迹方程为．

故选：A．

4．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（????）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，，

因为P在双曲线上，所以，所以，连接，则，

因为，所以，当三点共线时取等号，

即点和点Q距离的最大值为3，故选：C

5．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（????）

A． B．-1 C． D．2

【答案】B

【解析】由题意可知：双曲线焦点在轴上，，

设双曲线的右焦点，左焦点，

由为中位线，则，

由与圆相切于点，则为直角三角形，

∴，

则，,

∵

，

∴=-1.

故选：B.

??

6．（2023·云南玉溪）双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M是该曲线上一点，且，则（????）

A．3 B．15 C．3或15 D．15或18

【答案】C

【解析】因为双曲线的焦距为10，所以，

又因为，所以，因此双曲线的半实轴长为，

所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为，由双曲线的定义可知：

，或，故选：C

7．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（????）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，

因为，则，所以，，

设点，其中或，

则，

若点在双曲线的右支上，则，则，

当点在双曲线的左支上，则，则.

由双曲线的定义可知，解得（舍）或.

故选：D.

8．（2022春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）设点为坐标原点，点在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C．6 D．以上都不对

【答案】A

【解析】根据双曲线对称性可知，化简，

因为双曲线上的点与焦点距离最小值为，

所以

故选：A

9．（2023湖南）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（????）

A． B． C．7 D．8

【答案】A

【解析】

由题设知，，，，圆的半径

由点为双曲线右支上的动点知

，∴

∴.

故选：A

10．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（????）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【解析】双曲线的实半轴长，

由双曲线的定义，可得

所以，

则三角形的周长为.

故选：B

11．（2022·海南·校联考模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据双曲线的定义得，

又因为，所以，．

又因为，

所以在中结合余弦定理的推论得：

，

因为，得的大小为．

故选：C

12．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（????）

A． B．4 C． D．3

【答案】A

【解析】∵为正三角形，

设，则，，又双曲线，

则根据双曲线定义得，

∴，即等边三角形的边长为4，

故的面积为.

故选：A.

13．（2023春·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点在双曲线上，若，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为点到该双曲线渐近线的距离为1，双曲线渐近线方程为，

所以.

由，

可得.

因为，所以