4.1 数列的概念（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二.docx

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4.1数列的概念（精讲）

考点一数列的有关概念和分类

【例1-1】（2022秋·吉林白山）现有下列说法：

①元素有三个以上的数集就是一个数列；

②数列1，1，1，1，…是无穷数列；

③每个数列都有通项公式；

④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；

⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．

其中正确的有（????）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；

对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；

对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，

依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；

对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，

即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；

对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，

所以说法正确的个数是1.

故选：B

【例1-2】（2023春·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？

(1)2017，2018，2019，2020，2021；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)9，9，9，9，9，9.

【答案】答案见解析

【解析】（1）因数列（1）只有5项，且依次增大，故（1）为有穷数列，且为递增数列.

（2）因数列（2）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，也增大，故为递增数列.

（3）因数列（3）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，减小，故为递减数列.

（4）因数列（4）有无限项，所以不是有穷数列，因数列正负交替，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.

（5）因数列（5）有无限项，所以不是有穷数列，因数列为1，0，-1，0循环，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.

（6）因数列（6）只有5项，故（1）为有穷数列，且各项均为9，故为常数数列.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（????）

A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列

C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关

【答案】D

【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；

对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；

对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；

对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.

故选：D.

2．（2023北京）下列有关数列的说法正确的是（????）

A．同一数列的任意两项均不可能相同

B．数列，，与数列，，是同一个数列

C．数列1，3，5，7可表示为

D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列

【答案】D

【解析】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；

数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；

是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.

故选：D.

3．（2023云南）（多选）下列结论正确的是（????）

A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．

B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．

C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．

D．若数列的前n项和为，则对任意，都有.

【答案】ACD

【解析】由数列的定义可知选项A正确；

一个数列可以是常数列，因此选项B错误；

根据数列的图象特征可知选项C正确；

由的意义可知选项D正确，

故选：ACD

4．（2022·全国·高二专题练习）下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？

（1）{0，1，2，3，4}；?????????

（2）0，1，2，3，4；

（3）所有无理数；??????????????

（4）1，－1，1，－1，1，－1，…；

（5）6，6，6，6，6

【答案】答案见解析

【解析】数列是按照一定次序排列的一列数.

（1）是集合，不是数列.

（3）不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.

（2）（4）（5）是数列，其中（4）中项数有无穷多，故是无穷数列，（2）（5）中项数是有限的，故是有穷数列.

考点二数列的前几项和数列的通项公式互化

【例2-1】（2023·全国·高二随堂练习）观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：

(1)2，4，______，8，10，12；