4.2.1 等差数列的概念（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二.docx

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4.2.1等差数列的概念（精讲）

考点一等差数列的通项公式及相关计算

【例1-1】（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，

(1)已知，，，求；

(2)已知，，，求；

(3)已知，，求；

(4)已知，，求．

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】（1）由，，，则．

（2）由，，，则，解得．

（3）由，，则．

（4）由，，则．

【例1-2】（2023·上海）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．

(1)求此数列的通项公式；

(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．

【答案】(1)；

(2)268是此数列的第136项.

【解析】（1）由已知条件得，，

又∵为等差数列，设首项为，公差为，

∴，，解得，．

∴．

∴数列的通项公式为．

（2）令，解得．

∴268是此数列的第136项．

【一隅三反】

1．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，

(1)已知，，求；

(2)已知，，求d；

(3)已知，，，求n.

(4)已知，，求，；

(5)已知，，求；

(6)已知，，求．

(7)已知，，求首项与公差；

(8)已知，，求通项．

【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)28；(6)17.(7)，；(8).

【解析】（1）由知：；

（2）因为，，所以，所以，解得；

（3）由知：，解得.

（4）在等差数列中，由，得：，解得，

所以.

（5）设等差数列的公差为，由，得：，解得，

所以.

（6）设等差数列的公差为，由，得：，解得，

所以.

（7）由已知可得，解得.

（8）由已知可得，解得.所以，.

2（2023云南）在等差数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)判断96是不是数列中的项？

【答案】(1)；

(2)不是.

【解析】（1）设等差数列的公差为，则，而，于是得，，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，由得：不是正整数，

所以96不是数列中的项.

3．（2023春·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：

(1)原数列的第12项是新数列的第几项？

(2)新数列的第29项是原数列的第几项？

【答案】(1)第45项

(2)第8项．

【解析】（1）设新数列为，则，，

根据，有，即，

所以，所以．

又因为，所以．

即原数列的第n项为新数列的第项．

当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项．

（2）由(1)，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项．

考点二等差数列的判定与证明

【例2-1】（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等差数列：

(1)1，1，1，1，1；

(2)4，7，10，13，16；

(3)－3，－2，－1，1，2，3．

【答案】(1)是等差数列

(2)是等差数列

(3)不是等差数列

【解析】（1）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．

（2）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．

（3）因为，所以这个数列不是等差数列．

【例2-2】（2023秋·江苏南通）已知数列中，，.

(1)求的值，并猜想数列的通项公式；

(2)证明数列是等差数列.

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【解析】（1）在数列中，，，

令，得；令，得；令，得；

所以，猜想数列的通项公式为.

（2）由，，得，，即，

所以数列是以为首项，为公差的是等差数列.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高二课堂例题）判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．

(1)7，13，19，25，31；

(2)2，4，7，11；

(3)．

【答案】(1)是，公差为6

(2)不是等差数列

(3)是，公差为

【解析】（1）因为，所以是等差数列，且公差为6．

（2）因为，所以，因此不是等差数列．

（3）因为，所以是等差数列，且公差为

2.（2023·黑龙江）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.

【答案】证明见解析

【解析】证明：因为是1与的等差中项，

所以，即，

所以，

所以，

即，是常数，

故数列是等差数列.

3．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；

【答案】证明见解析

【解析】的两边同时除以，得2，

∴数列{}是首项为4，公差为2的等差数列

4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设数列的前n项和，满足，且

(1)证明：数列为等差数列

(2)求的通项公式

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【解析】（1）数列的前n项和，，又，显然，因此，

所以数列为等差数列，首项，公差为2.

（2）由（1）知，，则

当时，，显然不满足上式，