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4.2.1等差数列的概念(精练)
1等差数列基本量的计算
1.(2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习)已知数列为等差数列,,那么数列的通项公式为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设数列的首项为,公差为,由题得,所以.
所以数列的通项为.故选:A
2.(2022·辽宁锦州·高二期末)已知等差数列的通项公式,则它的公差为(????)
A.3 B. C.5 D.
【答案】D
【解析】依题意,等差数列的通项公式,,所以公差为.
故选:D
3.(2022·广西)等差数列中,,则的公差为()
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为,因为,所以,则,得,故选:B
4.(2022·陕西)等差数列的前三项分别是,,,则该数列的通项公式为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵等差数列的前三项依次为,,,∴,
解得为任意实数,故等差数列的前三项依次为,,,
故数列是以为首项,以2为公差的等差数列,故通项公式,故选:C.
5.(2022·重庆市广益中学校高二阶段练习)若数列满足:,且,则________
【答案】
【解析】因为数列满足:,且,
所以数列是首项为5,公差为的等差数列,所以.故答案为:.
6.(2022·全国·高二单元测试)设是公差为-2的等差数列,如果,那么______.
【答案】-82
【解析】∵是公差为-2的等差数列,
∴.故答案为:-82
7.(2022·全国·高二课时练习)在等差数列中,,.
(1)求的值;
(2)2022是否为数列中的项?若是,则为第几项?
【答案】(1)8082
(2)2022是数列中的第506项
【解析】(1)由题意,设等差数列的首项为,公差为.
由,,即解得
所以,数列的通项公式为.
所以.
(2)令,解得,所以,2022是数列中的第506项.
8.(2022·江苏·高二课时练习)在等差数列中,
(1)已知,公差,求;
(2)已知公差,,求;
(3)已知,公差,,求n.
【答案】(1)27(2)10(3)13
【解析】(1);
(2);
(3),,;故答案为:27,,10,13.
2等差数列的中项性质及应用
1.(2022·四川省)已知数列满足,且,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,,由等差数列的等差中项,得数列为等差数列,
又,所以,则,
所以.故选:B
2.(2022·全国·高二课时练习)与的等差中项是______.
【答案】
【解析】设与的等差中项是,则故答案为:
3.(2022·全国·高二课时练习)若m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是______.
【答案】3
【解析】由题设,,可得,
所以,故m和n的等差中项是3.故答案为:3
4.(2022·上海普陀·二模)已知等差数列()满足,则__________.
【答案】1
【解析】由题设,所以,即.故答案为:1
5.(2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试)在等差数列中,若,则________.
【答案】
【解析】在等差数列中,因为,
又所以,解得;故答案为:
6.(2021·河北衡水·高三阶段练习)已知等差数列中,分别是方程的两个根,则__________.
【答案】2
【解析】由分别是方程的两个根,得,
因为是等差数列,所以.故答案为:2
7.(2022·全国·高三专题练习)已知是等差数列,,则___________.
【答案】3
【解析】因为,所以,
因为,所以.故答案为:3.
8.(2022·全国·高二课时练习)在等差数列中,若,则的值为__________.
【答案】
【解析】由,而,
所以.
故答案为:
9.(2022·安徽)在等差数列中,,则的值为__________.
【答案】
【解析】依题意,等差数列中,,,.
故答案为:
10.(2022·全国·高二专题练习)已知实数成等差数列,则点到直线的最大距离是____.
【答案】
【解析】由成等差数列,得,所以;
又点到直线的距离是
,
由,即,
所以.当且仅当时取等号,
所以,
即点到直线的最大距离是.
故答案为:.
3等差数列的证明或判断
1.(2022·黑龙江)已知数列满足,,设.证明:为等差数列;
【答案】证明见解析
【解析】,
令时,则,所以是以为首项,为公差的等差数列.
2.(2022·云南)已知数列满足,.
(1)求证数列为等差数列;
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】解:(1)数列满足,.
整理得(常数),
所以数列是以为首项,1为公差的等差数列.
(2)由于数列是以为首项,1为公差的等差数列.
所以,
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