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4.3.1等比数列的概念(精练)
一.单选题(每道题目只有一个选项为正确答案,每题5分,8题共40分)
1.(2023秋·黑龙江牡丹江)在等比数列中,,,则首项等于(????)
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】,,,.故选:C
2.(2023春·江西上饶·高二统考期末)在等比数列中,,则“”是“数列的公比为2”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为,
由,,得,则;
由,,得.
故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件.
故选:B
3.(2023春·海南·高二校考阶段练习)在正项等比数列中,若,则(????)
A.6 B.12 C.56 D.78
【答案】D
【解析】由等比数列的性质可知,
又因为为正项等比数列,
所以,所以.
故选:D.
4(2023春·江西上饶·高二校考阶段练习)若数列满足,则数列是()
A.公差为的等差数列 B.公比为的等比数列
C.公差为的等差数列 D.不是等差数列
【答案】C
【解析】因为,所以,
即,根据等差数列的定义可知:
数列为以为公差的等差数列.
故选:C
5.(2022春·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习)在各项均为正数的等比数列中,,则(????)
A.有最小值12 B.有最大值12 C.有最大值6 D.有最小值6
【答案】A
【解析】因为等比数列各项都是正数,,
所以,
当且仅当时,取等号,
所以有最小值12,无最大值.
故选:A.
6.(2022春·广东茂名·高二校联考阶段练习)已知正项等比数列满足,若存在,,使得,则的最小值为(????).
A. B.16 C. D.
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为,根据题意,,
因为数列是正项等比数列,所以,,故由上式可解得,
又,
所以,即,
所以,
则,
当且仅当,即,时取等号,
因为,为正整数,所以当,时,可得的最小值为.
故选:C
7.(2023春·广东佛山·高二统考期末)已知等比数列的公比大于1,且,等差数列满足,,,则(????)
A.2026 B.4050 C.4052 D.4054
【答案】B
【解析】设的公比为,的公差为,
因为,,
所以,
因为,所以,解得,
故,
故,即,解得或(舍去),
则,
又,故,
则,
所以.
故选:B
8.(2023·广东广州)已知等比数列的前5项积为32,,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由等比数列性质可知,,
因为,所以,
从而
不妨令,则,
由对勾函数性质可知,在上单调递减,
故对于,,,
从而,则.
故的取值范围为.
故选:D.
多选题(每道题目至少有两个选项为正确答案,每题5分,4题共20分)
9.(2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习)若成等比数列,则(????)
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】成等比数列,
当时,;
当时,.
故选:BD.
10.(2023秋·福建宁德·高二统考期末)已知等比数列的公比,等差数列的首项,若且,则以下结论正确的有(????)
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】因为等比数列的公比,则,,而的正负不确定,
因此不能确定和的正负及大小关系,AC错误;
显然和异号,又且,则中至少有一个是负数,而,
于是等差数列的公差,即数列单调递减,因此,且,BD正确.
故选:BD
11.(2023春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习)设是等比数列,则(????)
A.是等比数列 B.是等比数列
C.是等比数列 D.是等比数列
【答案】AC
【解析】因为是等比数列,所以设其公比为,即.
因为,所以是等比数列,所以A选项正确;
因为,所以是等比数列,所以C选项正确;
当时,,所以此时不是等比数列,所以B选项错误;
不妨取等比数列为,则,此时不是等比数列,所以D选项错误.
故选:AC
12.(2023·广东深圳)已知等比数列的公比为q,前4项的和为,且,,成等差数列,则q的值可能为(????)
A. B.1 C.2 D.3
【答案】AC
【解析】因为,,成等差数列,所以,又因为数列前4项的和为,
所以,
而数列公比为q,再根据有,,所以或.
故选:AC.
填空题(每题5分,4题共20分)
13.(2023·甘肃临夏)一个等比数列前三项分别是8,4,2,则其第7项应是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该等比数列为,首项,公比,
∵等比数列前三项分别是8,4,2,
∴,,
∴,
∴.
故选:A.
14.(2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考阶段练习)已知数列为正项
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