8.4 统计案例（精讲）（教师版）.docxVIP

8.4统计与统计案例（精讲）

一．简单随机抽样

1.定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤nN)个个体作为样本．如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．(除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样)

2.简单随机样本：通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．

3.简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数法

二．分层随机抽样

1.分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．

2.分层随机抽样的平均数计算

在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，总体的样本平均数为eq\x\to(w)，则eq\x\to(w)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)．

三．总体百分位数的估计

1.百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

2.百分位数的意义：反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点．

四．总体集中趋势的估计

名称

概念

平均数

如果有n个数x1，x2，…，xn，那么eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用eq\x\to(x)表示，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)

中位数

将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数

众数

一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数

五．总体离散程度的估计

总体(样本)方差和总体(样本)标准差

假设一组数据是x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示这组数据的平均数，那么这n个数的

1.标准差s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－eq\x\to(x)）2＋（x2－eq\x\to(x)）2＋…＋（xn－eq\x\to(x)）2])；

2.方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．

六．相关关系

1．变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

(2)散点图：每一个成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图．我们把这样的统计图叫做散点图．

(3)相关关系的分类：正相关和负相关．

(4)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．

2．样本相关系数

(1)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－eq\x\to(x)）2)).

(2)当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，称成对样本数据负相关．

(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

3．一元线性回归模型参数的最小二乘估计

(1)我们将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)，,\o(a,\s\up6(^))