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专题4用导数研究函数的最值

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.

二、解题秘籍

(一)求函数在闭区间上的最值

一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．

求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a,b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；

(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．

【例1】（2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底）已知函数．

(1)求的图像在点处的切线方程；

(2)求在上的值域．

【解析】(1)因为，所以，所以，，

故所求切线方程为，即．

(2)由（1）知，．

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

又，，

所以，即在上的值域为．

(二)求函数在非闭区间上的最值

求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.

【例2】（2024届云南师范大学附中高三适应性月考）已知，.

(1)当时，求的最小值；

(2)若在上恒成立，求a的取值范围.

【解析】（1）当时，，

所以，

当时，，当时，，

故而在上单调递减，在上单调递增；

所以的最小值为

（2）在上恒成立等价于：恒成立，

即，在恒成立，

令，由（1）知：上面不等式等价于：

，在上恒成立，

所以，在上恒成立，

令

所以.

又令，且，

而，即在上单调递增，

所以当时，，即，所以在上单调递减；

当时，，即，所以在上单调递增；

所以在上的最小值为，

所以

(三)含单参数的函数的最值问题

含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．

【例3】已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)求在上的最大值．

【解析】（1）解：函数的定义域为，则.

当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；

当时，由，可得，由，可得.

此时，函数的增区间为，减区间为.

综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；

当时，函数的增区间为，减区间为.

（2）解：由（1）知，当时，函数在上单调递减，

此时，；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

此时，；

当时，函数在上单调递增，此时，.

综上所述，.

(四)把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题

有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解.

【例4】（2024届浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）高三上学期第一次联考）已知函数

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)求证：当时，

【解析】（1）解：当时，，，

由，可得，由，可得，

故当时，函数的增区间为，减区间为.

（2）解：当时，因为，则，

由，可得，由，可得，

所以，函数的增区间为，减区间为，

所以，下证：，即证：．

记，，

当时，，当时，，

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，所以恒成立，即．

(五)含双参数的函数的最值问题

含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解．

【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若，求b的最小值．

【解析】(1)当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.

(2)当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为

(六)根据恒成立,求整数a的最大值

根据恒成立,求整数a的最大值,通常情况是有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的最大值.

【例6】（2023届江西省临川第一中学高三上学期期中）已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)讨论函数的单调性，

(2)若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：）

【解析】（1）由可得.

当时，恒成立，在单调递增；

当时，令得，所以在单调递减，在单调递增；

综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.

（2）当时