专题7.2 基本不等式(原卷版).docx

7.2基本不等式

思维导图

知识点总结

1.基本不等式

(1)如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时等号成立).

我们把不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)称为基本不等式.

(2)当a，b∈R时，abeq\f(a2＋b2,2)(当且仅当a＝b时等号成立)，abeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(当且仅当a＝b时等号成立).

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：

(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.

(2)取等号的条件eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当a＝b时，\r(ab)＝\f(a＋b,2))).

[常用结论]

1.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.

2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

典型例题分析

考向一利用基本不等式求最值

角度1配凑法

例1(1)若x＜eq\f(2,3)，则f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()

A.最大值0 B.最小值9

C.最大值－3 D.最小值－3

(2)已知0＜x＜eq\f(\r(2),2)，则xeq\r(1－2x2)的最大值为________.

(3)(2023·天津模拟)函数y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的最小值为________.

角度2常数代换法

例2(1)(2023·石家庄模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________，eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值为________.

(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,1－x)的最小值是________.

角度3消元法

例3(2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为________.

角度4构建不等式法

例4已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.

感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.

3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

考向二利用基本不等式求参数或范围

例5(1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为________.

(2)已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.

感悟提升1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；

2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.

考向三利用基本不等式解决实际问题

例6为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为?AMBN一组相对的顶点，当?AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()

A.6 B.12

C.18 D.24

感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的思路

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量