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江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期期末测试模拟卷（一）

数学试卷

整体难度：适中。考察范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、空间向量与立体几何、函数与导数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形。题型统计：单选题8道、多选题3道、单空题3道、双空题1道、解答题5道。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．在中，“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．在中，角的对边分别为，且，，则（????）

A． B． C．2 D．

4．某地区5000名学生的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（????）

A．200 B．700 C．1400 D．2500

5．井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（????）

A．144 B．120 C．96 D．90

6．已知正实数，满足，则的最大值为（????）

A．0 B． C．1 D．

7．已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间单调递增的是（????）

A．B．C．D．

8．已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．在菱形中，.将菱形沿对角线折成大小为（）的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（????）

A．四面体的体积的最大值是

B．的取值范围是

C．四面体的表面积的最大值是

D．当时，球的体积为

10．已知，则下列描述正确的是（????）

A． B．除以5所得的余数是1

C．中最小为 D．

11．已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（????）

A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期

C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．A、B相互独立，，，则.

13．已知圆锥的母线长为，且母线与底面所成角为，则圆锥的体积为.

14．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。

15．如图，在四棱台中，底面为正方形，为等边三角形，为的中点．

(1)证明：；

(2)若，，求直线与平面所成角的余弦值．

16．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打平口端扎有一圈羽毛的半球状软木的室内运动，某学校为了解学生对羽毛球的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2×2列联表：

喜欢

不喜欢

总计

男生

40

60

100

女生

80

20

100

总计

120

80

200

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联?

(2)为了增强学生学习羽毛球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加羽毛球集训，再从这6人中随机抽取3人参加羽毛球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

附：，其中.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

17．已知．且，函数的最小正周期为．

(1)求函数的解析式与单调递增区间；

(2)在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长．

18．已知函数．

(1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值．

(2)若存在x使得，求实数a的取值范围．

19．从甲、乙、丙、丁4人中随机抽