专题8.4 空间直线、平面的垂直（原卷版）.docx

8.4空间直线、平面的垂直

思维导图

知识点总结

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线a与平面α垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理

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判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m,l⊥n,m∩n＝A,m?α,n?α))?l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.

(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

3.二面角

(1)定义：一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫作二面角.

(2)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

4.两个平面垂直

(1)两个平面垂直的定义

一般地，如果两个平面所成的二面角是，那么就说这两个平面互相垂直.

(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理

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判定定理

如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β

性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α

[常用结论]

1.三个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.三种垂直关系的转化

线线垂直eq\o(,\s\up9(判定定理),\s\do7(性质))线面垂直eq\o(,\s\up9(判定定理),\s\do7(性质定理))面面垂直

典型例题分析

考向一直线与平面垂直的判定与性质

1(2023·镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.

(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.

感悟提升证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

考向二平面与平面垂直的判定与性质

2如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.

(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；

(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.

感悟提升1.面面垂直判定的两种方法与一个转化

(1)两种方法：

面面垂直的定义；

面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).

(2)一个转化：

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

2.面面垂直性质定理的应用

(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.

(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.

3.(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

(1)证明：EF∥平面ABCD；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

考向三平行、垂直关系的综合应用

4.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.

(1)求证：AF∥平面SEC；

(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；

(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，