专题3.2 函数的单调性与最值（解析版）.docxVIP

专题3.2函数的单调性与最值

题型一

判断函数单调性

题型二

求函数的单调区间

题型三

函数的最值问题

题型四

恒成立问题与存在性问题

题型五

利用函数的单调性求参数的取值范围

题型六

利用单调性解不等式

题型一 判断函数单调性

例1．（2022秋·云南红河·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求解.

【详解】令，解得的定义域为

在上递增，在上递减，函数在上为增函数

函数的单调增区间为

故选：D

例2．（2023·浙江·高二专题练习）下列函数在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.

【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意.

对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意.

对于选项：是向右平移了两个单位长度，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以不符合题意.

对于选项：是向右平移了两个单位长度，

所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意.

故选.

练习1．（2023春·福建福州·高三校考期中）（多选）函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则函数的增区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可.

【详解】由图象，可知在上单调递增，在上单调递减.

因为函数是定义在上的偶函数，

所以函数的图象关于轴对称，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的增区间是和.

故选：BC.

练习2．（2022·高三单元测试）（多选）下列函数中，在上为增函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】在A中，，即可得到单调性；在B中，，即可得到单调性；在C中，，即可得到单调性；在D中，，即可得到单调性.

【详解】在A中，当时，在上为减函数；

在B中，当时，在上既不是增函数，也不是减函数；

在C中，当时，在上是增函数；

在D中，当时，在上是增函数.

故选：CD

练习3．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.

【详解】函数在定义域上单调递减，故A符合；

函数在定义域上单调增，故B不符合；

函数在定义域上不是单调函数，故C不符合；

函数在定义域上单调递增，故D不符合.

故选：A.

练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区间上为增函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据一次函数、二次函数、反比练习函数的性质判断每个选项的函数在上的单调性，即可得答案.

【详解】对A，一次函数在上为减函数，A错误；

对B，二次函数在上为减函数，

在上为增函数，B错误；

对C，反比练习函数在上为减函数，C错误；

对D，二次函数在上为增函数，D正确.

故选：D.

练习5．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）函数单调减区间是___________.

【答案】

【分析】画出函数的图像，从图像上即可得结论.

【详解】由，

如图所示：

由图可知函数单调减区间是：，

故答案为：.

题型二 求函数的单调区间

例3．已知函数

(1)作出函数的图象；

(2)写出函数的单调区间；

(3)当时，求的值域.

【答案】(1)见解析

(2)单调增区间为，单调减区间为

(3)

【分析】（1）根据二次函数的图象作图即可；

（2）根据函数图象写出单调区间即可；

（3）根据函数在上的单调性，即可得出答案.

【详解】（1）解：，

作出函数图象，如图所示：

（2）解：由图可得：函数的单调增区间为，

单调减区间为；

（3）解：因为函数在上递减，

所以，

所以的值域为.

例4．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间是______．

【答案】

【分析】根据条件将函数化为，然后根据一次函数的单调性即可求解.

【详解】因为函数可化为，

当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增，

所以函数的单调递减区间为，

故答案为：.

练习6．（2022秋·广西桂林·高三校考期中）函数的单调增区间是______.

【答案】

【分析】由函数解析式作出图像，结合图像判断单调区间.

【详解】函数的图像如下：

由图像其单调递增区间是,

故答案为：.

练习7．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）函数的单调增区间是___________.

【答案】和

【分析】先