2024年北师大版九年级上册教学设计第一章1.1 菱形的性质与判定.docx

第1课时菱形的性质

课时目标

1.经历菱形性质的探索、发现、猜想、证明的过程,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.

2.认识菱形,掌握菱形的性质.

3.能够用综合法证明菱形的性质定理.

4.进一步体会证明的必要性,以及计算与证明在解决问题中的作用.

学习重点

菱形性质的探索与证明.

学习难点

引导学生探究菱形的性质,并利用菱形的性质解决实际问题.

课时活动设计

回顾旧知

在八年级下学期,我们学习了平行四边形,那么什么样的四边形是平行四边形呢?它有哪些性质呢?

引导学生从以下几个方面思考总结.

从对称性看:平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点;

从边看:对边平行且相等;

从角看:对角相等,相邻的两个角互补;

从对角线看:对角线互相平分.

设计意图:本环节旨在通过提问,复习并梳理平行四边形的性质,为菱形性质的学习作铺垫.

新课引入

给出几幅含有菱形的生活图片,学生在欣赏图片的过程中发现特殊的平行四边形——菱形.

概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

想一想:你还能再举出一些生活中菱形的例子吗?

设计意图:通过这个环节,培养学生的观察和对比分析能力.从观察入手,四幅图中均含有菱形,第三幅图中含有正方形也是菱形的意图,可以通过测量、比较第四幅图中的菱形,发现邻边相等的特征,从而引出菱形的定义.由于给出的图形都是静态的,所以可以让学生列举出一些生活中的动态菱形的例子,如菱形衣帽架、电动门等.

探究新知

1.想一想.

(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?

(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请与同伴交流.

学生分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发同学们类比平行四边形,从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对于学生的结论,教师要及时评价,积极引导.

2.做一做.

用菱形纸片折一折,回答下列问题:

(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?

(2)菱形中有哪些相等的线段?

学生分小组折纸探索,并汇总结果.教师引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论.

结论:

①类比平行四边形,从对称性看,菱形是中心对称图形;从边看,对边平行且相等;从角看,对角相等,相邻的两个角互补;从对角线看:对角线互相平分.

②菱形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴为菱形对角线所在的直线,两条对角线互相垂直.

③菱形的四条边相等.

3.证明菱形的性质.

通过折纸活动,已经对菱形的性质有了初步的理解,下面要对菱形的性质进行严格的逻辑证明.

已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.

求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD.

分析:(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,即可证明菱形的四条边均相等.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD中点;又因为在菱形中可以得到等腰三角形,即利用“三线合一”来证明结论.

证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).

又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.

(2)∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.

又∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD(菱形的对角线互相平分).

在等腰三角形ABD中,∵OB=OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.

教师强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,加深学生的印象.

归纳总结

定理1:菱形的四条边相等.

定理2:菱形的对角线互相垂直.

设计意图:学生经过折纸这一操作活动后,再经过逻辑证明,把操作层面的感知上升到了理性认识,充分了解菱形的本质特征.本环节让学生进行猜想、探究和证明,符合学生的认知规律.同时,将操作活动得到的结论与逻辑推理相结合,是对数学知识进行探索活动的自然延续,实现了从感性认识到理性认识的升华.

典例精讲

例1如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.

解:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB=OD=12BD=12

在等腰三角形ABD中,

∵∠BAD=60°,

∴△ABD是等边三角形.

∴AB=BD=6.

在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2+OB2=AB2,

∴OA=AB2-OB

∴AC=2OA=63(菱形的对角线互相平分).

例2如图,在