向量的数量积(一).pptx

向量的数量积(一)

学习目标XUEXIMUBIAO1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积.

内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练

1知识梳理PARTONE

知识点一向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________.规定：零向量与任一向量的数量积为___.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.|a||b|cosθ|a||b|cosθ0

知识点二投影向量投影投影

知识点三平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.

1.两个向量的数量积是一个向量.()2.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.()3.若a·b0，则a与b的夹角为钝角.()4.若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×××

2题型探究PARTTWO

一、求两向量的数量积例1已知正三角形ABC的边长为1，求：

反思感悟定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.

0－16－16

二、投影向量例2已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.解∵|b|＝1，∴b为单位向量.

延伸探究本例改为求b在a上的投影向量.

反思感悟投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.(2)向量a在向量b上的投影向量为

跟踪训练2已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量.解∵a·b＝|a||b|cosθ，

3随堂演练PARTTHREE

12345√

解析设a与b的夹角为θ，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.2.已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为A.60° B.120° C.135° D.150°12345√

3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0B.|a＋b|＝|a|＋|b|C.若a⊥b，则a·b＝0D.|a|＝12345√√

解析a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，知|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos0＝|a|2，所以|a|＝，所以D正确.12345

12345√

123455.已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为____.e

课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)向量数量积的定义.(2)投影向量.(3)向量数量积的性质.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：向量夹角共起点；a·b0?两向量夹角为锐角，a·b0?两向量夹角为钝角.

4课时对点练PARTFOUR

基础巩固12345678910111213141516√

12345678910111213141516√

3.(多选)若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值可能是12345678910111213141516√√√解析由向量的数量积性质|a·b|≤|a|·|b|，可知ABC正确.

12345678910111213141516√

12345678910111213141516解析设a与b的夹角为θ，

5.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2B.|a·b|＝|a||b|C.λ(a＋b)＝λa＋λbD.|a·b|≤|a||b|12345678910111213141516√√解析选项B中，|a·b|＝||a||b|cosθ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误.√

12345678910111213141516－1

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