2023-2024学年天津南开中学高三第二次（4月）调研考试数学试题试卷.doc

2022-2023学年天津南开中学高三第二次（4月）调研考试数学试题试卷

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．设是虚数单位，若复数，则（）

A． B． C． D．

3．已知复数满足，且，则（）

A．3 B． C． D．

4．已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（）.

A．6 B．5 C．4 D．3

5．在直角中，，，，若，则（）

A． B． C． D．

6．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为()

A． B． C． D．

7．已知复数和复数，则为

A． B． C． D．

8．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．点为的三条中线的交点，且，，则的值为()

A． B． C． D．

10．函数fx

A． B．

C． D．

11．不等式组表示的平面区域为，则（）

A．， B．，

C．， D．，

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为()

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.

14．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_____．

15．已知平面向量与的夹角为，，，则________.

16．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在平面四边形中，，，.

（1）求；

（2）求四边形面积的最大值.

18．（12分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点,是上异于,的点,.

（1）证明:平面平面;

（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.

19．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求M点的极坐标；

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.

（1）求的值；

（2）若，且，求的值.

21．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.

22．（10分）已知向量，.

（1）求的最小正周期；

（2）若的内角的对边分别为，且，求的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

【解析】

模拟程序运行，观察变量值可得结论．

【详解】

循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出．

故选：B．

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．

2．A

【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可

【详解】

∵复数，∴，，则，

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题

3．C

【解析】

设,则,利用和求得,即可.

【详解】

设,则,

因为,则,所以,

又,即,所以,

所以,

故选