2019－2020学年度南通第一中学高三年级5月调研.docx

2019-2020学年度南通第一中学高三年级5月调研

数学试卷（一卷）

1.设集合M，则使成立的a的值是______.

【答案】

2.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为______.

【答案】；

3.已知命题p：，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______.

【答案】

4.已知中，，则C的大小为______.

【答案】

5.在直角坐标系中，点P的坐标满足：，则的最大值为______.

【答案】5

6.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______.

【答案】

7.若，且，则与的夹角是______.

【答案】

8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则______.

【答案】；

9，已知实数a，b满足，则的最小值为______.

【答案】4

10.已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，向量，.若，且，则______.

【答案】

11.在中，AD是BC边上的中线，，若，则______.

【答案】

12.已知，且，则______.

【答案】

13.如图，在直角梯形ABCD中，，若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，其中，若，则的值为______.

【答案】

14.已知圆C：，AB为圆C上的两个动点，且，G为弦AB的中点.直线l：上有两个动点PQ，且.当AB在圆C上运动时，恒为锐角，则线段PQ中点M的横坐标取值范围为______.

【答案】

15.（本小题满分14分）

已知向量.

（1）求的值；

（2）若，且，求的值.

【解析】

（1）∵，∴，

又∵，∵，

∴，

∴.

（2）∵，∴.

由（1）得，∴，

又∵，∴，

∴

.

16.（本小题满分14分）

已知函数，（）.

（1）当时，求函数的值域；

（2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量与向量共线，求a的值.

16.（1），

因为，所以，故，

从而.

所以的值域为.

（2）由，得，

因为，所以，故，即.

又由向量与向量共线，得，

由正弦定理得，①

由余弦定理得，，即，

故②

由①②解得.

17.已知两个定点，动点P满足.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：.

（1）求曲线E的轨迹方程；

（2）若与曲线E交于不同的C，D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；

（3）若，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.

【解析】

（1）设点P的坐标为

由可得，，

整理可得

所以曲线E的轨迹方程为.

（2）依题意，，且，则点O到CD边的距离为1

即点到直线l：的距离，解得

所以直线l的斜率为.

（3）依题意，，则M，N都在以OQ为直径的圆F上

Q是直线l：上的动点，设

则圆F的圆心为，且经过坐标原点

即圆的方程为，又

因为M，N在曲线E：上

由，可得

即直线MN的方程为

由且可得，解得

所以直线MN是过定点.

18.如城某观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长千米，宽千米，半圆的圆心P为AB中点.为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF、FC组成的观光道路.其中线段EF经过圆心P，且点F在线段CD上（不含线段端点C，D）.已知道路AE、FC的造价为2a（）元每千米，道路EF造价为7a元每千米，设，观光道路的总造价为y.

（1）试求y与的函数关系式：；

（2）当为何值时，观光道路的总造价y最小.

18.解：（1）由题意可知，过点F作，垂足为O，则，

所以

（）

（2）

即或（舍）

—

0

+

y

↘

↗

所以时，y最小，即当时，观光道路的总造价最小.

（说明：函数的定义域不写统一扣2分）

19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：（）的离心率为，左、右顶点分别为A、B，线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作，，直线交于点C.

（1）若点C的横坐标为，求点P的坐标；

（2）直线与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围.

【解析】

（1）设直线AP的斜率为k，，

由题意得，

所以，

所以椭圆M的方程为.

因为点P在椭圆M上，且位于第一象限，

所以，直线AP的方程为.

因为，

所以，

所以直线BP的方程为.

联立，解得，

即.

因为，所以，

则直线AC的方程为.

因为，所以.

则直线BC的方程为.

联立，解得，

即.

因为点C的横坐标为，

所以，解得.

因为，

所以，将代入可得

点P的坐标为.

（2）设，又直线AC的方程为.

联立消去y，整理得，

所以，

解得.

因为，

所以.

因为，

所以.

20.对于两个定义域均为D的函数，若存在最小正实数M，使得对于任意，都有，则称M为函数的“差距”，并记作.

（1）求（），（）的差距；

（2）设（），（）.（）

①若，且，求满足条件的最大正整数a；

②若，且，求实数m的取值范围.