沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第04讲一元二次方程根的判别式、根与系数关系(2大考点4种解题方法)(原卷版+解析).docxVIP

第04讲一元二次方程根的判别式、根与系数关系

（2大考点4种解题方法）

一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△0时，一元二次方程没有实数根.

2.一元二次方程根的判别式的逆用

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根=0；

（3）方程没有实数根﹤0.

二、一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0且时，两根同号．

当△≥0且，时，两根同为正数；

当△≥0且，时，两根同为负数．

②当△＞0且时，两根异号．

当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．

特别说明：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

一、根的判别式

1．（2021·上海八年级期末）下列方程中，没有实数根的是（）

A． B．

C． D．

2．（2021·上海市康城学校八年级期末）在下列方程中，有两个不相等实数根的是（）．

A． B．

C． D．

3．（2021·上海金山区·）下列关于的方程中一定没有实数根的是（）

A．； B．；

C．； D．．

二、判别式综合应用

4.已知关于的一元二次方程．

（）求证：方程总有两个实数根；

（）记该方程的两个实数根为和若以，，为三边长的三角形是直角三角形，求的值．

5.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的的值，并求此时方程的根．

三、根与系数关系的运用

6.已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.

(1)不解方程，判断方程的根的情况；

(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长

7.已知a、b、c为三角形的三边，求证：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0没有实数根.

四、根的判断别与根与系数关系综合

8．（2020·上海松江区·）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

(1)求的取值范围．

(2)当方程一个根为时，求的值以及方程的另一个根．

9．（2020·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程，

（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．

（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解．

10．（2020·上海金山区·八年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．

11．（2020·上海闵行区·）已知关于x的一元二次方程（m为常数）．

（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；

（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；

12．（2020·上海八年级期中）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及方程的根．

13．（2020·上海普华教育信息咨询有限公司）关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．

14．（2020·上海市育才初级中学）已知关于的方程，当取何值时，此方程

（1）有两个不相等的实数根；

（2）没有实数根．

15．（2020·上海浦东新区·八年级期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两根，求m的值．

一、单选题

1．（2022·上海·八年级期末）下列一元二次