1.2 空间向量基本定理（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修一.docx

1.2空间向量基本定理（精讲）

考点一空间向量的基底的概念及辨析

【例1】（2023春·河南开封）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；

对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；

对于C，假设向量共面，则，

即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；

对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；

故选：C.

【一隅三反】

1．（2023广东广州）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】向量是不共面的三个向量，

对于A，，则向量共面，A不是；

对于B，，则向量共面，B不是；

对于D，，则向量共面，D不是；

对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，

整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，

所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C是.

故选：C

2．（2023春·湖南）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】A.设，所以，

整理得，，

因为是空间的一个基底，所以，无解.

所以，与构成一个基底.

B.因为，所以，所以排除B；

C.因为，所以，所以排除C；

D.设，所以，

整理得，，

因为是空间的一个基底，所以，所以，

所以，与不构成一个基底，排除D.

故选：A

3．（2023湖南长沙）给出下列命题:

①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基；

②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基；

③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面；

④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基.

其中真命题的个数是（）.

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】D

【解析】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确.

③中由共面且过相同点，故共面.

下面证明①④正确.

①假设与共面，则存在实数，使，

∵与共线，，∴存在实数，使，

∵，∴，从而，∴与共面，与条件矛盾.

∴与不共面.同理可证④也是正确的.故选：D.

考点二空间向量基底表示向量

【例2-1】（2023·北京）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

??

因为Q是的中点，所以，

因为M为PQ的中点，所以，

故选：A.

【例2-2】（2023春·江苏常州）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（????）

A． B． C． D．－1

【答案】A

【解析】矩形中，,所以.

????

因为，所以.

因为,，所以.

所以.

所以，所以.故选：A

【一隅三反】

2．（2023春·江苏常州）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（??????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

.

故选：A

2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为P是的中点，

所以，

又因为点Q在上，且，

所以

，

所以，

故选：C.

3．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________.

【答案】

【解析】因为，

所以所以.

故答案为:.

4．（2023·福建福州）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取中点为，

三个式子相加可得,

又

,

故选：D

??

考点三空间向量基底的应用

【例3-1】（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.

（1）证明：；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】设，，

由题可知：两两之间的夹角均为，且，

（1）由

所以即证.

（2）由，又

所以，

又

则

又异面直线夹角范围为

所以异面直线夹角的余弦值为.

【例3-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，

(1)求（用向量表示）；

(2)求证：点E，F，G，H四点共面．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】∵

∴

（2）连接

∵分别是的中点，∴.

又∵，∴，

∴，则四点共面.

【一隅三反】

1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，，