沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第12讲直角三角形(4大考点)(原卷版+解析).docxVIP

第12讲直角三角形（4大考点）

1.直角三角形全等的判定

图形

定理

符号

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）

在中，，

2.直角三角形的性质定理及推论

定理1

直角三角形的两个锐角互余；

定理2

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.

3.勾股定理

图形

名称

定理

符号表示

边的定理

在直角三角形中，斜边大于直角边.

在中，

勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.

在中，，

勾股定理

逆定理

如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.

在中，，

4.两点的距离公式

①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为.

②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离

.

考点一：直角三角形全等的判定与直角三角形的性质

一、填空题

1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为________．

2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______．

二、解答题

3．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，

(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；

(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．

4．（2021·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．

（1）求证：PM＝PN；

（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．

5．（2022·上海·八年级期末）（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔

（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．

6．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．

7．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BCCD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．

(1)求证：CE=CDBE；

(2)如果CE=3BE，求的值．

8．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）

9．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y．

(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；

(2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；

(3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由．

10．（2022·上海·八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．

(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；

(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；

(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

11.（浦东新区2020期末25）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．

（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

考点二：勾股定理与两点的距离公式

一、填空题

1．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点、，且，