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4.1数列的概念(精讲)
考点一数列的概念及辨析
【例1】(2022·全国·高二课时练习)现有下列说法:
①元素有三个以上的数集就是一个数列;
②数列1,1,1,1,…是无穷数列;
③每个数列都有通项公式;
④根据一个数列的前若干项,只能写出唯一的通项公式;
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数.
其中正确的有(????).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】对于①,数列是按一定次序排成的一列数,而数集的元素无顺序性,①不正确;
对于②,由无穷数列的意义知,数列1,1,1,1,…是无穷数列,②正确;
对于③,不是每个数列都有通项,如按精确度为得到的不足近似值,
依次排成一列得到的数列没有通项公式,③不正确;
对于④,前4项为1,1,1,1的数列通项公式可以为,等,
即根据一个数列的前若干项,写出的通项公式可以不唯一,④不正确;
对于⑤,有些数列是有穷数列,不可以看着是一个定义在正整数集上的函数,⑤不正确,
所以说法正确的个数是1.故选:B
【一隅三反】
1.(2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试)下列有关数列的说法正确的是(????)
A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列,0,2与数列2,0,是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为 D.数列中的每一项都与它的序号有关
【答案】D
【解析】对于A中,常数列中任意两项都是相等的,所以A不正确;
对于B中,数列,0,2与2,0,中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确;
对于C中,表示一个集合,不是数列,所以C不正确;
对于D中,根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.故选:D.
2.(2022·全国·高二课时练习)下列有关数列的说法正确的是(????)
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列,,与数列,,是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为
D.数列2,5,2,5,…,2,5,…是无穷数列
【答案】D
【解析】例如无穷个3构成的常数列3,3,3,…的各项都是3,故A错误;
数列,0,1与数列0,1,中项的顺序不同,即表示不同的数列,故B错误;
是一个集合,故C错误;根据数列的分类,数列2,5,2,5,…,2,5,…中的项有无穷多个,所以是无穷数列,D正确.
故选:D.
3.(2022·广东)下列有关数列的说法正确的是(????)
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列,,与数列,,是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为
D.数列2,5,2,5,…,2,5,…是无穷数列
【答案】D
【解析】例如无穷个3构成的常数列3,3,3,…的各项都是3,故A错误;
数列,0,1与数列0,1,中项的顺序不同,即表示不同的数列,故B错误;
是一个集合,故C错误;根据数列的分类,数列2,5,2,5,…,2,5,…中的项有无穷多个,所以是无穷数列,D正确.故选:D.
考点二数列的通项与项互求
【例2-1】(2022·河南)已知一组数据2,5,10,17,26,…,按此规律可以得到第100个数为(????)
A.9802 B.9991 C.10001 D.10202
【答案】C
【解析】因为2,5,10,17,26,…的一个通项公式为,
所以第100个数为,故选:C
【例2-2】(2023·全国·高三专题练习)一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数.如图,根据前三个点阵图形的规律,第四个点阵表示的三角形数是(??)
A.1 B.6 C.10 D.20
【答案】C
【解析】根据规律可知,第四个点阵表示的三角形数为:.故选:C
【例2-3】(2022·山东烟台·高二期末)数列2,0,2,0,…的通项公式可以为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.当时,,不符;
B.当时,,不符;
C.当时,,不符;
D.当时,,
当时,,符合.
故选:D.
【一隅三反】
1.(2022·江苏)已知数列的通项公式为,则该数列的前项依次为(????)
A.,,, B.,,, C.,,, D.,,,
【答案】A
【解析】由通项公式可知:,故选:A
2.(2022·广西)若一数列为1,,,,…,则是这个数列的(????).
A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项
【答案】D
【解析】因,因此符合题意的一个通项公式为,
由解得:,所以是这个数列的第15项.故选:D
3.(2022·河南)数列满足,则数列的前12项和为(????)
A.64 B.150 C.108 D.240
【答案】C
【解析】,再分别代入可得,,,.由周期为2,同理可得,.
∴.故选:C.
4.(202
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