4.2.1 等差数列的概念（精讲）（解析版）--人教版高中数学精讲精练选择性必修二.docx

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4.2.1等差数列的概念（精讲）

考点一等差数列基本量的计算

【例1-1】（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列中，

(1)已知，，求和公差d；

(2)已知，，求；

(3)已知，，求；

(4)已知，，求．

【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.

【解析】(1)，，；

(2)，，；

(3)，，；

(4)，，上两式联立：，，；

故答案为：，，-12，28，17.

【例1-2】（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)判断96是不是数列中的项？

【答案】(1)；(2)不是.

【解析】（1）设等差数列的公差为，则，而，于是得，，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，由得：不是正整数，所以96不是数列中的项.

【一隅三反】

1．（2022·江苏·高二课时练习）等差数列的首项为，公差为d，项数为．

(1)已知，，，求；

(2)已知，，，求；

(3)已知，，，求d；

(4)已知，，，求．

【答案】(1)13(2)8(3)(4)

【解析】(1)解：因为数列为等差数列，，，，

所以，所以；

(2)解：因为数列为等差数列，，，，

所以，解得；

(3)解：因为数列为等差数列，，，，

所以，解得；

(4)解：因为数列为等差数列，，，，

所以，解得.

2．（2022·全国·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：

(1)原数列的第12项是新数列的第几项？

(2)新数列的第29项是原数列的第几项？

【答案】(1)第45项(2)第8项．

【解析】（1）设新数列为，则，，

根据，有，即，

所以，所以．

又因为，所以．

即原数列的第n项为新数列的第项．

当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项．

（2）由(1)，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项．

考点二等差中项及应用

【例2-1】（2022·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（????）

A．14 B．16 C．18 D．28

【答案】A

【解析】因为等差数列中，，，故选：A.

【例2-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（）

A．2 B．3 C．±2 D．

【答案】D

【解析】由题意可得：∵{an}为等差数列，则∴故选：D.

【例2-3】（2022·江苏）在等差数列中，已知，则等于（）

A．40 B．42 C．43 D．45

【答案】B

【解析】由题意得等差数列中，已知，

设公差为d，则，故????，故选：B

【一隅三反】

1．（2022·四川省）等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意，解得；故选：D

2．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为数列为等差数列，且所以，解得，

所以.故选：C

3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知等差数列满足，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】根据等差数列的性质，得，

因为，所以，所以，故选：CD.

4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】由等差中项的定义知，，所以，即，

所以，故或.故选：AB

考点三等差数列的证明或判断

【例3-1】（2022广东）（多选）下列数列中，是等差数列的是（）

A．1，4，7，10 B．

C． D．10，8，6，4，2

【答案】ABD

【解析】根据等差数列的定义，可得：

A中，满足(常数)，所以是等差数列；

B中，满足(常数)，所以是等差数列；

C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；

D中，满足(常数)，所以是等差数列.

故选：ABD.

【例3-2】（2022·陕西·西北农林科技大学附中）已知数列满足，.

(1)求??；

(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.

【答案】(1)，，；

(2)证明见解析，.

【解析】(1)由得，

代入，n依次取值2，3，4，得

，，.

(2)证明：由变形，得，

即，所以是等差数列.

由，所以，变形得，

所以.

【一隅三反】

1.（2021·全国高二课时练习）（多选）下列数列是等差数列的是（）

A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…

－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…

【答案】AC

【解析】根据等差