4.2.1 等差数列的概念（精讲）（原卷版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二.docx

4.2.1等差数列的概念（精讲）

考点一等差数列的通项公式及相关计算

【例1-1】（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，

(1)已知，，，求；

(2)已知，，，求；

(3)已知，，求；

(4)已知，，求．

【例1-2】（2023·上海）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．

(1)求此数列的通项公式；

(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．

【一隅三反】

1．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，

(1)已知，，求；

(2)已知，，求d；

(3)已知，，，求n.

(4)已知，，求，；

(5)已知，，求；

(6)已知，，求．

(7)已知，，求首项与公差；

(8)已知，，求通项．

2（2023云南）在等差数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)判断96是不是数列中的项？

3．（2023春·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：

(1)原数列的第12项是新数列的第几项？

(2)新数列的第29项是原数列的第几项？

考点二等差数列的判定与证明

【例2-1】（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等差数列：

(1)1，1，1，1，1；

(2)4，7，10，13，16；

(3)－3，－2，－1，1，2，3．

【例2-2】（2023秋·江苏南通）已知数列中，，.

(1)求的值，并猜想数列的通项公式；

(2)证明数列是等差数列.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高二课堂例题）判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．

(1)7，13，19，25，31；

(2)2，4，7，11；

(3)．

2.（2023·黑龙江）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.

3．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；

4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设数列的前n项和，满足，且

(1)证明：数列为等差数列

(2)求的通项公式

考点三等差中项及其应用

【例3-1】（2023春·安徽芜湖）已知数列是等差数列，，则（????）

A．9 B．0 C．-3 D．-6

【例3-2】（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，则（????）

A．36 B．48 C．60 D．72

【例3-3】（????）

A． B． C． D．

【例3-4】（2023北京）在等差数列中，若，则.

【一隅三反】

1．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）在等差数列中，若，则（????）

A． B．1 C．0 D．

2．（2023·全国·高二专题练习）等差数列中，，，则该数列的公差为（????）

A． B．2 C． D．3

3．（2023春·广西崇左·高二校考期中）若a是4+m，4-m的等差中项，则a=

4．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则.

5．（2023·高二课时练习）若正项等差数列满足：，则的最小值为.

6．（2023春·江西上饶·高二校联考期中）已知，成等差数列，则.

考点四等差数列的设法与求解

【例4-1】（2023高二课时练习）已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.

【例4-2】（2023春·高二课时练习）已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．

【一隅三反】

1．（2023湖北）（多选）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（????）

A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2

C．2，5，8，11 D．11，8，5，2

2．（2023湖北）已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数.

3．（2023·河南）已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．

考点五等差数列的实际应用

【例5-1】（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往16km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付的车费为（????）

A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8

【例5-2】（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．