6.2 等比数列（精讲）（教师版）.docxVIP

6.2等比数列（精讲）

一．等比数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).

数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.

二．等比数列的通项公式

若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1，通项公式的推广：an＝amqn－m.

三．等比数列的前n项和公式

首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))

四．等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

3.若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m，S2m－S3m，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．

4.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10，,q1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10，,0q1，))则等比数列{an}递增．若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10，,0q1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10，,q1，))则等比数列{an}递减．

5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．

①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝q．

等比数列基本量的运算

等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.

二．等比数列的三种常用判定方法

定义法

若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列

中项公式法

若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列

通项公式法

若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列

前n项和公式法

若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列

考法一等比数列的基本量的运算

【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（????）．

A．21 B．81 C．243 D．729

【答案】C

【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C

【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由等比数列的性质可知，因为，则，

由已知可得，可得，，则，

因此，.故选：B.

【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列满足，，若，，则的值为______.

【答案】或

【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，

，得，，所以.

当时，，则；

当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或

【一隅三反】

1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（????）

A． B． C．15 D．40

【答案】C

【解析】由题知,

即,即,即.

由题知,所以.所以.故选:C.

2．（2023春·北京）已知各项均为正数的等比数列满足，，则（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，由已知条件可得，解得，

因此，.故选：C.

3．（2022·河南安阳）已知为等比数列，，则_________．

【答案】

【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，

若，则，，则；

若，则，，则.故答案为：.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为

A． B．2 C． D．3

【答案】2

【解析】设数列的公比为，

若，则，与题中条件矛盾，

故

.

考法二等比数列的判断与证明

【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列中，，，求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

【答案】证明见