专题10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）.docx

10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

思维导图

知识点总结

1．分类加法计数原理

完成一件事有____类不同的方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要_______个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．

两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

相同点

用来计算完成一件事的方法种数

不同点

分类、相加

分步、相乘

每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事

注意点

类类独立，不重不漏

典型例题分析

考向一分类加法原理

【例1】(1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的共有()

A．18个 B．15个

C．12个 D．9个

(2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()

A．8 B．7

C．6 D．5

【变式】现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________.

使用分类加法计数原理时应注意的三个方面

(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的．

(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类．

(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．

考向二分步乘法原理

【例2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()

A．24 B．18

C．12 D．9

【变式1】某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花()

A．3360元 B．6720元

C．4320元 D．8640元

【变式2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．

利用分步乘法计数原理解题的策略

(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．

(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．

考向三加法原理和乘法原理的应用

【例3】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()

A．243 B．252

C．261 D．279

【变式】从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为()

A．56 B．54

C．53 D．52

【例4】从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()

A．8种 B．12种

C．16种 D．20种

【变式】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()

A．60 B．48

C．36 D．24

基础题型训练

一、单选题

1．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（????）

A． B． C． D．

2．解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（????）

A．4种 B．5种 C．6种 D．9种

3．四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行实习教学，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（????）

A．65种 B．37种 C．24种 D．12种

4．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪