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专题7函数中的双变量问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.

二、解题秘籍

(一)与函数单调性有关的双变量问题

此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.

常见结论：

(1)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数；

(2)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数；

(3)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数；

(4)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数.

【例1】（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期第一次调研）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)存在且，使成立，求的取值范围．

【解析】（1）由题意得，令得，

时，，在上单调递增；

时，，在上单调递减；

综上，单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由题意存在且，不妨设，

由（1）知时，单调递减．

等价于，

即，

即存在且，使成立．

令，则在上存在减区间．

即在上有解集，即在上有解，

即，；

令，，，

时，，在上单调递增，

时，，在单调递减，

∴，∴．

(二)与极值点有关的双变量问题

与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.

【例2】（2024届福建省福州第一中学高三上学期质量检查）已知函数．

(1)若，，求实数a的取值范围；

(2)设，是函数的两个极值点，证明：．

【解析】（1）当时，

，在时，，单调递减，

又，所以，不满足题意；

当时，，

若，即时，，在上单调递增，

又，所以，满足题意；

若，即时，

令，可得，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

而，所以，

不满足在上.

综上所述，；

（2）当时，

由得，单调递减，无极值，不满足题意；

当时，，

若，即时，，在上单调递增，

无极值，不满足题意；

若，即时，

令，可得，，此时，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以为极大值，为极小值，

且，，，

要证，即证

，

即，

即证：，

即证：

则，

因为，

故在上为减函数，故，

故成立，

故.

【例3】（2023届云南省曲靖市高三下学期第二次联考）已知函数.

(1)当时，试讨论函数的单调性；

(2)设函数有两个极值点，证明：.

【解析】（1）当时，定义域为，

，

令解得或，且当或时，，当时，，

所以当或时，单调递增，当时，单调递减，

综上在区间，上单调递增，在区间单调递减.

（2）由已知，可得，

函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，

令，只需，故，

又，，

所以

，

要证，即证，

只需证，

令，，

则，

令，则恒成立，

所以在上单调递减，

又，，

由零点存在性定理得，使得，

即，

所以时，，单调递增，

时，，单调递减，

则，

又由对勾函数知在上单调递增，

所以

所以，即得证.

(三)与零点有关的双变量问题

与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.

【例4】已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数在定义域内有两个不相等的零点．

①求实数a的取值范围；

②证明：．

【解析】(1)当时，函数，定义域为．

．

由，得．

当时，，当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

(2)①若函数在定义域内有两个不相等的零点，

则方程有两个不等的实根．

即方程有两个不等的实根．

记，则，

记，则在上单减，且，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在单调递减．

∴．

又∵且当时，，

∴方程为有两个不等的实根时，．

∴当时函数在定义域内有两个不相等的零点．

②要证，

只需证，

只需证，

因为，两式相减得：

．

整理得．

所以只需证，

即证，

即，不妨设，令，

只需证，

只需证，

设，

只需证当时，即可．

∵，

∴在（单调递减，

∴当时，，

∴在单调递增，当时，

∴原不等式得证．

明.

(四)独立双变量,各自构造一元函数

此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.

【例5】（2024届陕西省宝鸡实验高级中学高三一模）已知函数，是自然对数的底数.

(1)当时，求整数的值，