6.1 平面向量的概念（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练必修二.docx

6.1平面向量的概念（精讲）

思维导图

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典例精讲

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考点一概念辨析

【例1-1】（2022江苏）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；

而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.故选：C

【例1-2】（2022·湖北）下列关于零向量的说法正确的是（????）

A．零向量没有大小 B．零向量没有方向

C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线

【答案】D

【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；

两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；

零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.

【例1-3】（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（????）

A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等

C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动

【答案】B

【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；

单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.

【一隅三反】

1．（2022·广东）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（????）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C

2．（2022山东）下列说法：

①零向量是没有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量与任意一个向量共线.

其中，正确说法的个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C

3．（2022黑龙江）下列命题中假命题是（????）

A．向量与的长度相等

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于

D．共线的单位向量都相等

【答案】D

【解析】对于A选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；

对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；

对于C选项，只有零向量的模等于，C选项正确；

对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.

故选：D.

4．（2022·全国·高一课时练习）下列关于向量的描述正确的是

A．若向量，都是单位向量，则

B．若向量，都是单位向量，则

C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆

【答案】D

【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；

对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；

对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；

对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；故选：D.

考点二向量的几何表示

【例2】（2022湖南）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；

（2），使＝4，点B在点A正东；

（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．

（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．

（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．

【一隅三反】

1．（2022四川）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.

（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；

（2）求向量的模.

【答案】