专题9.1 直线与圆(解析版).docx

9.1直线与圆

思维导图

知识点总结

典型例题分析

考向一倾斜角与斜率、直线的方程

1.把直线x-y+3-1=0绕点(1,3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是()

A.y=-3x B.y=3x

C.x-3y+2=0 D.x+3y-2=0

答案:B

解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,3)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tanα=tan60°=3,∴直线l的方程为y-3=3(x-1),即y=3

2.(2020上海静安期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足()

A.-π4≤α≤π4

C.π4≤απ2

答案:B

解析:因为k=tanα,所以当k≤-1时,π2α≤3π4,当k≥1时,π4≤απ2,即直线的倾斜角α

3.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y等于(

A.-1 B.-3 C.0 D.2

答案:B

解析:由k=-3-2y-12-4=tan3π4=-1,得-4

4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()

A.-1,15

B.-∞,12∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪15,+∞

D.(-∞,-1)∪12,+∞

答案:D

解析:设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-2k,则-31-2k3,解得k12或k-1.

考向二圆的方程

1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是()

A.3 B.2 C.-1 D.-3

答案:C

解析:方程化为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心(-2,3),半径r=1,则x的最大值是-2+1=-1.故选C.

2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()

A.-43 B.-34 C.3

答案:A

解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为|a+4-1|a2+1

3.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A

解析:方程x2+y2-2x-a=0可化为(x-1)2+y2=1+a,1+a0,即a-1,由a2能推出a-1,反之不成立,故“a2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.

4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为()

A.12 B.1 C.2 D

答案:C

解析:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.当过点P(1,2)的弦与连接P与圆心的直线垂直时,弦最短,则最短弦长为232-[(3

考向三直线与圆的位置关系

1.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为(1-3)2+(2-0)2=223,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=22,|O1B|=

2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值是()

A.21 B.19 C.9 D.-11

答案:C

解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=25-m,从而|C1C2|=32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+25-m

3.(2021河南郑州二模)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧AB的长为()

A.π2 B.π C.2π D.

答案:B

解析:直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,所以直线恒过定点M(1,1),圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥直线AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2r2-|MC|2=24-2=22,此时弦AB对的圆心角为π2,所以劣弧AB

基础题型训练

一、单选题

1．已知圆和圆，则两圆的位置关系为（????）

A．内含 B．内切 C．相交 D．外切

【答案】B

【分析】求出两圆的圆