专题9.3双曲线的定义与性质（原卷版）.docx

9.3双曲线的定义与性

思维导图

知识点总结

1.双曲线定义：设F1，F2是平面内的两个定点，若平面内的点P满足||PF

2.双曲线的标准方程及简单几何性质

标准方程

x

焦点坐标

左焦点F1?

焦距

F1F2=

图形

x≤?a或x≥a，y

y≤?a或y≥a，x∈R

范围

对称性

关于x轴、y轴、原点对称

实轴端点(顶点)

(0，±a)

虚轴端点

(±b，0)

实轴长

2a，其中a

虚轴长

2b，其中b

渐近线

y

离心率

3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为______.

典型例题分析

考向一双曲线的定义

【例1】双曲线C：x24?y2=1的左、右焦点分别为

【变式】双曲线x24?y25=

考向二双曲线的标准方程

【例2】若方程x2m+y2

【变式】双曲线λx2?y

考向三渐近线问题

【例3】已知双曲线C：x26?y2

【变式1】(2021新高考Ⅱ卷)若双曲线x2a2

【变式2】双曲线C与双曲线x22?y2=1

考向四离心率问题

【例4】(2021-全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F

A.7

B.13

C.7

D.13

【变式】}已知双曲线x2a2?y2b2=1a

A.5

B.3

C.2

D.5

考向五焦点三角形面积问题

【例5】[变式]设Fc，0是双曲线x2a2?y2b2

A.3

B.5

C.10

D.10

【变式】已知双曲线C：x2a2?y24=1a

考向六直线与双曲线综合问题

【例6】]已知A，B是双曲线C：x22?y2

[变式]已知双曲线C：x2?y2=1，过点Pm，1m0的直线

基础题型训练

___

一、单选题

1．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程是

A． B．

C． D．

2．若双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．2

3．双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（????）

A． B． C． D．

4．已知，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的渐近线方程为（????）

A． B． C． D．

5．过原点的直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线的斜率为（????）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（????）

A． B． C． D．

8．已知双曲线经过点，则（????）

A．的实轴长为 B．的焦距为

C．的离心率为 D．的渐近线方程是

三、填空题

9．焦点在轴上，虚轴长为，且离心率的双曲线的标准方程为．

10．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积为；

11．过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是.

12．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为．

四、解答题

13．已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线过点和，求双曲线的标准方程.

14．已知双曲线C：．

（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；

（2）求与C有公共的焦点，且过点的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．

15．在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；

16．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，

(1)求双曲线方程

(2)求面积的最小值

提升题型训练

一、单选题

1．双曲线的实轴长为（????）

A．2 B．4 C． D．

2．已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（????）

A．2 B． C． D．

3．已知双曲线的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（????）

A． B． C． D．

4．已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

5．已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（????）

A． B．4 C．2 D．

二、多选题