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专题3.8抽象函数问题

题型一

抽象函数的定义域

题型二

抽象函数的值域

题型三

求抽象函数的解析式

题型四

抽象函数的奇偶性

题型五

抽象函数的周期性

题型六

抽象函数求解不等式

题型一 抽象函数的定义域

例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】若函数的定义域为，则复合函数有意义要满足.

【详解】因为函数的定义域为，则有意义要满足，解得，

故选：D

例2．（2022秋·山东德州·高三校考阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】解：因为函数的定义域为，

对于函数，则，解得，

即函数的定义域为.

故选：C

练习1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及可求得结果.

【详解】因为函数的定义域为，

所以要使有意义，则

，解得且，

所以原函数的定义域为，

故选：C．

练习2．（2023秋·辽宁沈阳·高三统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】∵函数的定义域为，即，可得，

∴函数的定义域为，

令，解得，

故函数的定义域为.

故选：B.

练习3．（2023秋·江苏扬州·高三期末）已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是______.

【答案】

【分析】由的定义域得出，进而由得出所求.

【详解】因为函数的定义域为，所以，

即，解得

故函数，则函数的定义域是

故答案为：

练习4．（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.

【答案】

【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.

【详解】对于，因为，所以由的单调性得，即，

所以对于，有，即，

由的单调性得，解得，

所以的定义域为.

故答案为：.

练习5．（2022秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件求得的定义域，再由的定义域求出的定义域即可.

【详解】∵函数的定义域为，即，

∴，

又∵，解得，

∴的定义域为,

故选：.

题型二 抽象函数的值域

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（????）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解

【详解】当，时，，，

则当，时，即，，所以；

当，时，即，，

由，得，从而，；

当，时，即，，则，．

综上得函数在，上的值域为，．

故选：D．

例4．（2021·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.

（1）求，的值；

（2）判断的单调性并加以证明；

（3）求在，上的值域.

【答案】（1）f(1)=1，f(4)=3；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.

【分析】（1）可令解得，再令，可得f（4）；

（2）函数在上为增函数，可令，运用条件和单调性的定义，即可得证；

（3）运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域.

【详解】（1）可令时，=-；

令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；

（2）函数在上为增函数.

证明：当时，有，

可令，即有，则，

可得，

则在上递增；

（3）由在上为增函数，可得在递增，

可得为最小值，为最大值，

由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，

则的值域为.

练习6．（2022·全国·高三专题练习）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．

【答案】

【分析】利用函数奇偶性的定义结合的值域即可求出的值域.

【详解】解：由是上的奇函数，是上的偶函数

得到，

因为函数的值域为

即

所以

又，

得

所以的值域为：.

故答案为：.

练习7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据的值域为，即，即可求出，，，以及的范围，从而可求解．

【详解】的定义域为，值域为，即；

对于A,，即的值域为，故A错误；

对于B,，即的值域为,故B错误；

对于C,，即的值域为，故C正确；

对于D,，即的值域为，故D错误．

故选：C．

练习8．（2022·高一课时练习）已知函数的定义域为