2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.1 认识一元二次方程.docx

第1课时一元二次方程

课时目标

1.经历由具体问题抽象出一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.

2.理解一元二次方程及其相关概念.

学习重点

抽象概括出一元二次方程的概念.

学习难点

通过具体情境建立数学模型.

课时活动设计

情境引入

图1

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯(如图1),四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗?

如果设所求的宽度为xm,那么你能列出怎样的方程?

解:(8-2x)(5-2x)=18.

图2

注意事项:教学中,为了帮助学生理解题意,可以先提出问题:你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗?并让一学生指出对应的三部分,再要求学生从这一实物图中抽象出几何图形(如图2).

设计意图:培养学生的问题意识,增强学生分析问题的能力,提升学生抽象思维能力,同时也为后续归纳一元二次方程的概念提供材料.

探究新知

1.你能找到关于102,112,122,132,142这五个数之间的等式吗?

解:102+112+122=132+142.

通过前面的学习,直接让学生设未知数,列出适合条件的方程.

如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎么用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程?

解:x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

注意事项:在找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和的问题时,部分学生有困难,并且寻找的方式也有不同,有的学生采取代入特殊值一个一个去试,有的学生直接归结为方程去解决.对于那些需要帮助的学生,教师应给予必要的指导.

2.如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米?

你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动xm,那么你能列出怎样的方程?

解:(x+6)2+72=102.

结合上面得到的三个方程:(8-2x)(5-2x)=18,x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,(x+6)2+72=102,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称.

归纳:上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项,一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.

设计意图:通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念,加深对概念的理解.

巩固训练

1.把方程3(x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

解:方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一般形式为5x2+36x-32=0,它的二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.(答案不唯一)

2.从前有一天,一个笨汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个笨汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出一元二次方程.

解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺.由题意得x2=(x-4)2+(x-2)2,即x2-12x+20=0.

设计意图:通过及时巩固一元二次方程的有关概念,使学生可以更好地掌握本节课的知识点.

课堂小结

让学生通过本节课的学习,自己归纳本节课的知识要点,学会了什么?还有哪些困惑?

设计意图:让学生养成自主梳理知识要点的习惯,提高归纳总结的能力,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.

课堂8分钟.

1.教材第32页习题2.1第1,2题.

2.七彩作业.

教学反思

?

???

第2课时一元二次方程解的估算

课时目