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中考必会几何模型：三垂直全等模型--第1页

WANG

三垂直全等模型

模型三垂直全等模型

如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.

结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，

很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图

形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.

证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.

∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.

∴∠BAE＝∠CED.

在△ABE和△ECD中，

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∴△ABE≌△ECD.

∴AB＝EC，BE＝CD.

∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.

例2如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，

则DE的长为多少？

解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°.

∴∠EBC＋∠BCE＝90°.

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA.

在△CEB和△ADC中，

∴△CEB≌△ADC.

∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.

∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.

例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点

的坐标.

解答：（1）如图③，过点B作BD⊥x轴于点D.

∴∠BCD＋∠DBC＝90°.

由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，

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∴∠BCD＋∠ACO＝90°.

∴∠DBC＝∠ACO.

在△BCD和△CAO中，

∴△BCD≌△CAO.

∴CD＝OA，BD＝OC.

∵OA＝3，OC＝2.

∴CD＝3，BD＝2.

∴OD＝5.

∴B（－5，2）.

（2）如图④，过点A作AD⊥y轴于点D.

在△ACD和△CBO中，

∴△ACD≌△CBO.

∴CD＝OB，AD＝CO.

∵B（－1，0），C（0，3）

∴OB＝1，