复变函数讲义第1章.ppt

本章内容总结*一、区域的概念1.邻域:说明满足不等式|z|R(R0)的一切点(包括无穷远点)的集合称为无穷远点的邻域.*2.去心邻域:3.内点:用R|z|+?表示无穷远点的去心邻域.说明*4.开集:如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.5.区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.区域邻域*6.边界点、边界D的所有边界点组成D的边界.记做?D.区域D与它的边界一起构成闭区域，记做区域D边界点边界设D是复平面上的点集,z0是一个定点,若z0的任何邻域内都含有属于E的点和不属于E的点,则称z0是D的边界点.*7.有界区域和无界区域:*(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.*二、平面曲线1.连续曲线:平面曲线的复数表示:*例4解所以它的复数形式的参数方程为**2.光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.*3.简单曲线:没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).*简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界*课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭*三单连通域与多连通域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域*三、典型例题例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).*是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.*表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.练习2满足下列条件的点集是否区域?如果是区域,是单连通区域还是多连通区域?这是一条平行于实轴的直线,不是区域.它是单连通区域.这是以为右边界的半平面,不包括直线它是多连通区域.它不是区域.这是以为圆心,以2为半径的去心圆盘.这是以i为端点,斜率为1的半射线,不包括端点i.*四、小结应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域.放映结束，按Esc退出.复数平面表示法定义表示法三角表示法曲线与区域球面表示法复数表示法指数表示法复数的运算共轭运算代数运算乘幂与方根向量表示法*利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式4.复数的三角表示和指数表示*例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为指数表示式为*故三角表示式为指数表示式为*例2解(三角式)(指数式)*5.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.*6.复数和差的模的性质*例3求下列方程所表示的曲线:解*化简后得*1、乘积与商二、复数的乘幂与方根或*两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为定理一两个复数的积的模等于它们的模的积;两个复数的积的辐角等于它们的辐角之和.*可将结论推广到n个复数相乘的情况:定理二两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.*例4解*2、幂与根n次幂:*棣莫佛公式棣莫佛介绍推导过程如下:棣莫佛公式*根据棣莫佛公式,*当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.*从几何上看,*例7解即**三、小结与思考应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:放映结束，按Esc退出.*思考题是否任意复数都有辐角?*思考题答案否.