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2022-2023学年云南省玉溪市新平县三中下学期四调考试高三年级数学试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对;再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数估计的值,那么可以估计的值约为()
A. B. C. D.
2.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是4的取法有()
A.17种 B.27种 C.37种 D.47种
3.正项等比数列中,,且与的等差中项为4,则的公比是()
A.1 B.2 C. D.
4.已知函数在上可导且恒成立,则下列不等式中一定成立的是()
A.、
B.、
C.、
D.、
5.若复数满足,则()
A. B. C.2 D.
6.已知集合,,则
A. B.
C. D.
7.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()
A. B. C. D.
8.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi|=().
A. B. C. D.5
9.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496,8128现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为
A. B. C. D.
10.复数的()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.已知双曲线的左右焦点分别为,,以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线方程是()
A. B. C. D.
12.若复数满足(是虚数单位),则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线的左焦点为,、为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,的中点为,若,且直线的斜率为,则__________,双曲线的离心率为__________.
14.六位同学坐在一排,现让六位同学重新坐,恰有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法有________种(用数字回答).
15.已知函数有且只有一个零点,则实数的取值范围为__________.
16.已知双曲线的一条渐近线方程为,则________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.
18.(12分)已知的内角的对边分别为,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为,求的周长的最小值.
19.(12分)在平面直角坐标系中,,,且满足
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过,作直线交轨迹于,两点,若的面积是面积的2倍,求直线的方程.
20.(12分)在中,角,,所对的边分别是,,,且.
(1)求的值;
(2)若,求的取值范围.
21.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所.
(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;
(2)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选校,另在四校中再随机选1所;而同学乙和丙对五所高校没有偏爱,因此他们每人在五所高校中随机选2所.
(i)求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率;
(ii)记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数,求随机变量的分布列及数学期望.
22.(10分)如图所示的几何体中,,四边形为正方形,四边形为梯形,,,,为中点.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
由试验结果知对0~1之间的均匀随机数,满足,面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对,满足条件的面积,由几何概型概率计算公式,得出
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