1.4.1+空间中点、直线和平面的向量表示导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

1.4空间向量应用

1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示

姓名:班级：日期：月日

一：学习目标

能用向量表示点，直线和平面

理解直线的方向向量与平面的法向量

掌握直线的方向向量与平面的法向量的求法

二：思维框架

三：自学预习

点的位置向量

在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

空间直线的向量表示式

在直线L上任取一点P，一定存在一个实数t，使得OP=OA+ta;反之亦然，此时点P与实数t形成一一对应关系

a是直线L的方向向量，在直线L上取AB=a，取空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP=OA+ta①，

将AB=a代入①式，得OP=OA+tAB②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.

性质：由此可知空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

空间平面的向量表示式

取空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP=xa+yb③我们把③式称为空间平面ABC的向量表达式。

性质：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定

平面的法向量

直线l⊥平面α．取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP=0}.

四:课堂探究

探究一：求直线的方向向量

例1：在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=a,AD=b,AA=c,O是BD与B

例2在四棱锥P—ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE=3EP,设

AB=a,AD=b,AP=c，以{a,b,c}为空间的一个基底，求直线AE的一个方向向量.

探究二：求平面的法向量

例3.已知长方体ABCD-ABCD中，AB=4，BC=3，CC=2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

（1）求平面BCCB的一个法向量．

（2）求平面MCA的一个法向量

点拨：（1）平面BCCB与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面MCA可以看出由MC,MA,CA中的两个向量所确定，运用法向量与它们垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量。

*归纳方法：求平面的法向量，通常只需要求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此。

求平面法向量的方法：

设出平面的法向量n=(x,y,z)

求出平面内的两个不共线的向量的a={a1，b1，c1}，b={a2，

根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程n

解方程组，取其中的一个解，即得法向量。

探究三：确定空间中点的位置

已知点A（4，1，3），B（2，—5，1），C为线段AB上一点且ACAB=1

点拨：求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，列方程组可得点的坐标。

五：课堂归纳

1、空间中点、直线和平面的向量表示

点→点+位置向量

线→点+方向向量

平面→点+法向量

2、归纳求平面法向量的步骤

六：课程收获

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