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中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题

当神奇的正方形与美丽的45度角不期而遇，它们之间会产生怎样的火花，生成怎样令人

难忘的故事？今天我们浅谈几道与正方形中45度角有关的好题目，开启一段神奇之旅！

题1：如图1，已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不

与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．

(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-1，求证：AB+BE=AM；

(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-2；当点E在边BC的延长线上，

点M在边AD上时，如图5-3；

请分别写出线段AB、BE及AM之间的数量关系，不需要证明；

(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=sqrt（3）

，∠AFM=15°，则AM=．

简析：本题中三种情形下都有一个等腰直角△AEF（含45度角），这里可采取常用的“见

等腰直角三角形，造一线三直角”或者说成更一般意义上的“三垂直结构”等垂直处理策略；

对于前两问统一处理如下：

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情形一：当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-4所示，依托于等腰直角

△AEF的三个顶点作相关“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”结构，或者说是“三垂

直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AB+BE=EN+BE=BN=AM，第(1)问得解；

情形二：当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-5所示，依托于等腰直角

△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直

结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+BE=BN+BE=EN=AB，即AM+BE=AB；

其实这里的“三垂直结构”根本没添加任何辅助线，如果执意采取“见等腰直角三角形，

造K字型”的策略作一些“水平—竖直辅助线”，本质上并无什么太大差别，不再赘述，但我

们之所以选择前者，是基于以最少的辅助线去解决问题的情怀与追求；

情形三：当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图1-6所示，依托于等腰直角

△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直

结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+AB=BN+EN=BE，即AM+AB=BE；

综合情形二与情形三这两种情况下的结论，第(2)问得解；

解题后反思：对于前两问，不知同学们有没有发现，三种情形图形变化了，但其证明的思

路几乎没什么变化，无论是全等的两个三角形还是全等后相关边长的转化，包括最终结论的形

式等都几乎都是一致的，这种图形变换问题中解题策略的“统一性”是极其重要的，很多综合

题都可以采取这种策略去寻找突破口，进而顺利解决问题；

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建议同学们在表示角的时候用三个大写字母来表示，为什么这么说呢？

这是因为当你会解决第一个图形后，后续图形变化的情形就可以执着这些用三个大写字母

表示的角以及三角形等去寻找解决问题的途径与方法；

很多时候，解答过程中甚至于可能连每一个字母都没有任何变化，这就是“图形变了，方

法不变，甚至于连表示角或三角形等的字母顺序都一点儿变化都没有”，体现了“变中不变”

的统一性；

不相信你再回头看一看题1的分析过程，去对比三种情形下的思路、方法、甚至于表示三

角形的字母等几乎都没啥变化，最后的结论形式上也基本是相同的！

下面再来看看第(3)小问：

首先审题要细致，有时真要做到“咬文嚼字”，去揣摩命题人的意图，去琢磨命题人刻意

留给你的台阶；

当读到第一句话“在(1)，(2)的条件下”，很明显就要进行分类讨论了啊，而且前面两问

分了三种情形，这里自然也应该三种情形都要考虑到位；

这道题编制