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公理化思想

公理化思想

所谓公理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原

始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本命题）出发，利用

纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。所谓基

本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关

系，而并非人们自由意志的随意创造。

所共知，希尔伯特1899年出版的《几何学基础》一书是近代数学

公理化的典范著作。该书问世后的二、三十年间曾引起西方数学界的

一阵公理热，足见其影响之大。希尔伯特的几何公理系统实际是在前

人的一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修

改。直到1930年出第七版时，还作了最后修改。这说明一门学科的公

理化未必是一次完成的，公理化过程可以是包含一些发展阶段的。公

理化方法的历史发展，大致可分成三个阶段：

1.是公理方法的产生阶段，大约在公元前三世纪，希腊的哲学家

和逻辑学家亚里斯多德（Aristotle）总结了古代积累起来的逻辑知识，

以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，

由此推导出别的所有三段论（共分了十九个格式）。因此可以认为，

亚里士多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。

亚里士多德的思想方法深深地影响了公元前三世纪的希腊数学家

欧几里得，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成

了数学史上的重要著作《几何原本》。欧几里得从古代的量地术和关

于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和

公理。他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理。由

此出发，他运用演绎方法将当时所知的几何知识全部推导出来，这便

是古代数学公理方法的一个辉煌成就。

2.是公理方法的完善阶段，如所知，欧氏几何的公理系统是不完

善的，其主要的不足之处可以概括为：（1）有些定义是不自足的，亦

即往往使用一些未加定义的概念去对别的概念下定义。（2）有些定义

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时多余的，略去它毫不影响往后的演绎和展开。（3）有些定理的证明

过程往往依赖于图形的直观。另一方面，由于第五公设（即平行线公

理）在陈述与内容上的复杂和累赘，古代学者们早就怀疑地指出，第

五公设是不是多余的，它能否从其他公设、公理中逻辑地推导出来？

而且进一步认为，欧几里得之所以把它作为公设，只是因为他未能给

出这一命题的证明。因而，学者们纷纷致力于证明第五公设。但是所

有试证第五公设的努力均归于失败，在这些失败之中唯一引出的正面

结果便是一串与第五公设相等价的命题被发现。

并且非欧几何学中的一系列命题都和人们的朴素直观不相符合。

这是它在开创阶段之所以遭受人们冷嘲热讽的重要原因。但是，这种

背离直观的几何学在逻辑系统内没有矛盾，演绎论证的严格性也是无

懈可击的。事实上，非欧几何给人们开拓了“空间”的概念（如所知，

非欧几何的重要分支“黎曼几何”在爱因斯坦1915年创立“广义相对

论”后，已得到了证实和应用）。非欧几何的产生，不仅为公理化方

法进一步奠定了基础，而且为公理方法可以推广和建立新的数学理论

提供了依据。

非欧几何的创立大大地提高了公理方法的信誉。接着便有许多数

学家致力于公理方法的研究。例如，1871~1872年间德国数学家康托

（Cantor）与戴德金（Dedekind）不约而同地拟成了连续性公理。

德国数学家巴许（Pasch