3.2.2 双曲线的简单几何性质（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修一.docx

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3.2.2双曲线的简单几何性质（精讲）

考点一离心率与渐近线

【例1-1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为双曲线，所以，，

所以，的离心率，故B，C，D错误.

故选：A.

【例1-2】（2022·高二课时练习）双曲线的渐近线方程为（????????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可知：该双曲线的方程为故选：A

【例1-3】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】双曲线的渐近线方程为：，

又；故选：A.

【例1-4】（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点的直线与在第一象限相交于一点P，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为．

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为α，则，

由P在第一象限内，且，则，

∴，由余弦定理可得，

整理得，则，解得或（舍去）.

??

故答案为：

【一隅三反】

1．（2023·北京大兴·校考三模）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（????）

A． B．2 C． D．3

【答案】A

【解析】依题意可得等轴双曲线中，则，所以离心率.故选：A

2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设双曲线的方程为，

因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C.

3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）（多选）已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（????）

A． B．的离心率为

C． D．的渐近线方程为

【答案】AB

【解析】在中，，，，，A正确；

的离心率，B正确；

由双曲线的定义或，C错误；

的渐近线方程为，即，D错误.

故选：AB．

4．（2023秋·高二课时练习）如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是．

【答案】

【解析】如图，因为，F点坐标为，

所以，又A在右支上且不在顶点处，

所以，所以.

故答案为：

5．（2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考期末）过双曲线右焦点作一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，，的平分线交轴于点，且到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为．

【答案】/

【解析】双曲线的渐近线如下图所示：

由题意可知三角形OAB的内切圆圆心为M，过点M分别作于点N，

于点T，由知四边形为正方形，

焦点到渐近线的距离为，

得，又，所以，

所以，所以，

所以.

故答案为：.

??

6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若是的中点，且，则此双曲线的离心率为（????）

??

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】因为，则，所以是直角三角形，又因为是的中点，

所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，

所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：

，于是有：，

因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：

，

故选：B.

考点二直线与双曲线的位置关系

【例2-1】（2023广东潮州）讨论直线与双曲线的公共点的个数．

【答案】答案见解析

【解析】联立方程组，整理得，

当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点；

当时，即时，可得，

由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点；

由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点；

由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点；

综上可得：

当时，直线与双曲线有两个公共点；

当或时，直线与双曲线有一个公共点；

当时，直线与双曲线没有公共点.

【例2-2】（2023·湖北武汉）直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为．

【答案】

【解析】由，消去整理得，

因为该方程有两个不等且小于的根，所以，

解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程．

【答案】

【解析】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线；

若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：，

由已知，即，

解得：，故所求切线的方程为：，即：．

【一隅三反】

1．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的