3.3 抛物线（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修一.docx

3.3抛物线（精讲）

考点一抛物线的标准方程

【例1-1】（2023春·江西吉安·高二校联考期末）若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为点在抛物线上，所以，得，

所以抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故选：A

【例1-2】（2023·陕西榆林）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，可设抛物线的方程为，由抛物线的定义知，即，

所以抛物线方程为．故选：C．

【例1-3】（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意得，因为，所以.又，解得，

所以抛物线的方程为.故选：D

【一隅三反】

1．（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（????）

A．或B．或C．D．

【答案】A

【解析】当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为．

因为抛物线过点，记为点，如图，所以，所以、所以抛物线的方程为；

当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为．

因为抛物线过点，所以，所以，

所以抛物线的方程为．故选：A.

???.

2．（2023·陕西汉中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为．

【答案】

【解析】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，所以可设抛物线：.

由抛物线的定义可得：，解得：.所以抛物线的方程为：.故答案为：.

3．（2023春·云南保山·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是.

【答案】

【解析】设方程为，则有，

解得，即有.故答案为：.

考点二抛物线定义及应用

【例2-1】（2023春·河南开封）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（????）

A．5 B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】由题意知，，设，则，

所以，

??

故当时，，所以.故选：B.

【例2-2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（????）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，

所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.

所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，

即其最小值是.

??????

故选：D

【例2-3】（2023·西藏日喀则）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（??）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】圆的圆心，半径，

抛物线的焦点为，准线为，

则由抛的线的定义可知点到y轴的距离为，

所以，

由图可知，当共线，且在线段上时，最短，

而，

因为，

所以，解得，

故选：B

??

【一隅三反】

1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是抛物线：的焦点，所以，

又，由抛物线的定义可知，解得，所以.

故选：A

2．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（????）．

A．13 B．12 C．10 D．8

【答案】A

【解析】，故,

记抛物线的准线为，则：，

记点到的距离为，点到的距离为，

则.

故选：A.

??

3．（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（????）

A．8 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【解析】由焦点到其准线的距离为得；

设在准线上的射影为如图,

则，

当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．

故选：D．

4．（2023·浙江·校联考二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（????）

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线，

设动点直线的距离分别为，

点到直线的距离分别为，

则，可得，

当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立，

动点到直线直线的距离之和的最小值是3.

故选：B.

考点三直线与抛物线的位置关系

【例3-1】（2023广东深圳）设直线，抛物线，当为何值时，与相切？相交？相离？

【答案】当时，与相切；当时，与相交；当时，与相离.

【解析】：联立方程，得

消去并整理，得.

当时，方程为一元