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专题11函数中的同构问题

一、考情分析

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

二、解题秘籍

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如与属于“跨阶函数”，而属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：，等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；等.

【例1】（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试）已知函数.

(1)当，求的极值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【解析】（1）当时，，

则，

所以在上，单调递增，在上，单调递减，

当时取得极大值，，故的极大值为，无极小值.

（2）由，可得，则，即.

令，则，

因为在上单调递增，所以，则.

令，则，

在上，单调递增，在上，单调递减，即，

所以，则的取值范围为.

【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数在处的切线和直线垂直.

(1)求实数的值；

(2)若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围.

【解析】（1）由函数，可得，可得

因为函数在处的切线l和直线垂直，所以，

即，解得.

（2）解：不妨设，则，

因为对任意的，，都有成立，

可得，即，

设，则，故在单调递增，

从而有，即在上恒成立，

设，则，

因为，

令，即，解得，

令，即，解得，

所以在单调递减，在单调递增，

又因为，故在上最小值，所以，

实数的取值范围是.

(二)型同构

【例3】（2023届吉林省长春外国语学校高三上学期考试）已知函数（e是自然对数的底数）.

(1)当时，求的极值点；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若有两个零点，求实数的取值范围.

【解析】（1）当时，,则.

当时，，此时函数递减，当时，，此时函数递增，

所以极小值点为，无极大值点.

（2）求导

①当时，，在上递增

②当时，

当时，，在上递减，

当时，，此时函数在上递增.

（3）等价于有两个零点，

令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，

所以有两个零点，等价于有两个零点.

因为，

①当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，

②当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，

所以.

若，得，此时恒成立，没有零点；

若，得，此时有一个零点.

若，得，因为，，，

所以在，上各存在一个零点，符合题意，

综上，的取值范围为.

(三)型同构

【例4】（2023届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷）已知函数．

(1)讨论函数的零点的个数﹔

(2)当时，若对任意，恒有，求实数a的取值范围．

【解析】（1）令则，

记，则，

当时，，此时在单调递减，

当时，，此时在单调递增，

故当时，取极大值也是最大值，

又，而当时，，故当时，，当时，，作出的图象如下：

????

因此当时，即，无交点，此时无零点，

当或时，即或，有一个交点，此时有一个零点，

当时，即，有两个交点，此时有2个零点，

综上可知：当时，无零点，

当或有一个零点，

当，有2个零点，

（2）当时，若对任意，恒有等价于：

对任意，恒有，

令，则不等式等价于，

由于，

令，

当单调递减，当单调递增，所以，故在单调递增，

由得对任意恒成立，

两边取对数得对任意恒成立，

故，所以

故的范围为

(四)型同构

【例5】（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求实数a的取值范围.

【解析】（1）依题意，得.

当时，，所以在单调递增.

当时，令，可得；

令，可得，

所以在单调递增，在单调递减.

综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.

（2）因为当时，，所以，

即，

即，

即.

令，则有对恒成立.

因为，所以在单调递增，??????????

故只需，

即对恒成立.

令，则，令，得.

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以.

因此，所以.

(五)型同构

【例6】已知，，．

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，求证：．

【解析】(1)，当时，，即在上单调递