5.3.2 极值与最值（精讲）（解析版）--人教版高中数学精讲精练选择性必修二.docx

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5.3.2极值与最值（精讲）

考点一极值

【例1】（2022·江西）已知函数

(1)求在处的切线的方程.

(2)求的单调区间和极值.

【答案】(1)；

(2)增区间为，减区间；极大值为极小值.

【解析】（1）因为，故可得，

，，

故在处的切线的方程为：，即.

（2）因为，

令，解得；令，解得；

则在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故的单调增区间为，单调减区间，

且的极大值为的极小值为.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的驻点，并判断其是不是极值点，若是，求出对应的极值；若不是，请说明理由．

(1)；(2)；(3)；(4)．

【答案】(1)函数的驻点为和；是极值点；极大值为，极小值为．

(2)函数没有驻点；无极值点；无极值；因为在R上恒成立，所以没有驻点．

(3)函数的驻点为和；是极值点；极大值为，极小值为．

(4)函数的驻点为；是极值点；无极大值，极小值为．

【解析】（1）解：由题意得，，

令，即，

解得或，

即函数的驻点为和．

当x变化时，，的变化情况如下表：

x

3

0

0

极大值

极小值

∴是的极大值点，且极大值为；

是的极小值点，且极小值为．

（2）解：由题意得，，

令，即，方程无解，

在R上恒成立，函数没有驻点，无极值点，无极值．

（3）解：由题意得，函数的定义域为R，．

令，即解得或，即函数的驻点为和．

当x变化时，，的变化情况如下表：

x

1

0

0

极小值

极大值

∴是的极小值点，且极小值为．

是的极大值点，且极大值为．

（4）解：由题意得，函数的定义域为，，

令，即，解得或（舍去），即函数的驻点为．

当x变化时，，的变化情况如下表：

x

0

极小值

∴是的极小值点，且极小值为，无极大值点．

2．（2022·浙江·高二期中）已知函数，满足．

(1)求实数a的值；

(2)求的单调区间和极值．

【答案】(1)

(2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.

【解析】（1）由题意，，又，解得

（2）由（1），且为增函数.

令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在处有极小值，无极大值.

综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.

考点二已知极值求参数

【例2-1】（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）函数的极大值与极小值分别为和，则____．

【答案】

【解析】，

在区间递增；在区间递减.

所以是的极大值，即，

是的极小值，即，

所以.故答案为：

【例2-2】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，

则，解得.

故选：D.

【例2-3】（2022·山东泰安·高二期末）已知函数在x=1处取得极值3.

(1)求a，b的值；

(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】（1），

因为在处取得极值3，所以，即，

解得.，经验证，满足题意，所以

（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.

由（1）知，令，解得或.

当变化时，的变化情况如下表所示：

1

0

0

单调递增

3

单调递减

单调递增

因此，当时，有极大值，且极大值为；

当时，有极小值，且极小值为.

作函数图象如下：

所以实数的取值范围是.

【一隅三反】

1．（2022·陕西）函数的极大值是_______

【答案】

【解析】由，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以当时，函数有极大值，

极大值为：

故答案为：

2．（2022·全国·高二课时练习）设函数的极大值为，极小值为，则__________．

【答案】

【解析】，

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，

的极大值；极小值，

，，.故答案为：.

考点三最值

【例3】（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调性；

(3)求函数在上的最小值．

【答案】(1).

(2)当时，单调递减；当时，单调递增.

(3)答案见解析.

【解析】（1）当时，，则，

所以，，

所以曲线在处的切线方程为.

（2）由题意得，因为恒成立，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

（3）由（2）得，①当时，在上单调递减，；

②当时，在单调递减，在单调递增，；

③当时，在上单调递增，.

【一隅三反】

1．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））已知函数，若曲线在处的切线方程为．

(1)求，的值；

(2)求函数在上的最值．

【答案】(1)；

(2)最大值为3，最小值为