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代数几何学的抽象化演进-转2021-04-2921：10代数几何学的抽象化演进在20世

纪数学史上，代数几何学(AlgebraicGeometry)始终处于一个核心的地位，这从数

学界的主要大奖之一，Feilds奖的获得者情况即可看出，从1936年颁发首届

Fields奖算起，到2002年在中国举行的国际数学家大会上颁发的第24届Fields

奖为止，总共有45位40岁以下的青年数学家获奖，其中大约有1/3的人，其获奖

的工作或多或少与代数几何有一定的联系，这说明代数几何的研究是相当活泼的，

一直是Dieudonne意义上的主流数学。为什么代数几何的研究会常盛不衰?因为在

代数几何了有大量未解决的问题，而且这些难题涉及其他许多学科，正是这些难题

和其他学科的刺激，使得代数几何充满了活力，充满了令人神往的创造的生长点。

代数几何到底研究什么呢?简单的说，就是研究n维仿射空间或n维射影空间中多

项式方程组的零点及其上的三大结构：代数结构，拓扑结构和序结构。此三大结构

系Bourbaki学派提出，用来统摄结构数学，数学中但凡具有结构特征的板块，均

由这三大母结构及其混合构成。对于1元n次方程的解，我们有很好的结果，即代

数学根本定理：在复数域C内，任意1元n次方程一定有n个零点(重复了几次算

几重)。但是，假设把情况改变一下，由1元变成n元，复数域变成任意基域K，

现要讨论由m个n元方程构成的方程组在K内的公共零点的情况，容易发现，情况

要比1元时复杂得多，此时，用传统的方法已无济于事，必须创造新的方法，融入

新的思想。正是这样的内在的开展要求，使得代数几何在20世纪发生了一场革

命，即库恩意义上的范式的彻底改变。其中蕴涵的新的数学思想，不仅革新了代数

几何本身，而且也革新了整个数学界的思考方式，给经典的数学家们在思想上带来

了深深的震撼！

Dieudonne把代数几何学的历史分为七个时期：前史(prehistory，Ca.400BC-

1630A.D)，探索阶段(Exploration，1630-1795)，射影几何的黄金时代(1795-

1850)，Riemann和双有理几何的时代(1850-1866)，开展和混乱时期(1866-

1920)，涌现新结构和新思想的时期(1920-1950)，最后的一个阶段，也就是代数几

何史上最辉煌的时期，层(sheaf)和概形(Scheme)的时代(1950-)。代数几何学的对

象原来是欧氏平面中的代数曲线，即由多项式P(x，y)=0定义的轨迹，比方最简单

的代数曲线--直线和圆，古希腊时代就已经在研究圆锥曲线和一些简单的三次，四

次代数曲线了。承前述可以看出，研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示，

所以，真正意义上的研究还得从Descartes和Fermat创立几何图形的坐标表示开

始说起，但这已经是17世纪的事情了。解析几何学对于代数曲线和曲面已经有相

当完整的结果了，从Newton开始已着手对三次代数曲线进行分类，得出72类，从

这时起，分类问题便成为代数几何中的知道性问题了，这些问题成为大量研究工作

的推动力。但是，反过来，正是由于对三次的或四次的代数曲线进行的分类过于繁

复，从而推动了解析几何学向代数几何学的过度，也就是在更加粗糙的水平上进行

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分类和进行一般的理论研究。18世纪，AG(代表代数几何，以下类同)的根本问题

是代数曲线和曲面的相交问题，相当于代数方程组中的消元问题，这个时期得到的

根本成果