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专题3.4二次函数与幂函数
题型一
二次函数的图象
题型二
二次函数的单调性
题型三
二次函数在区间上的最值问题
题型四
二次函数恒成立问题
题型五
幂函数的定义
题型六
判断幂函数的图象
题型七
根据幂函数的单调性比较大小
题型八
根据幂函数的单调性求参数
题型九
根据幂函数的单调性解不等式
题型一 二次函数的图象
例1．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知a，b，c成等比数列，则二次函数的图像与x轴的交点个数是___________.
【答案】1
【分析】根据题意有，再借助二次函数的判别式判断交点个数
【详解】a，b，c成等比数列,则，
，
则二次函数的图像与x轴有1个交点，
故答案为：1.
例2．（2021秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．
（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0.
【答案】3
【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.
【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为
，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确；
因为对称轴为，故当和时，函数值相等，
当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.
故答案为：3.
练习1．（2022秋·辽宁·高三校联考阶段练习）若二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像求得，进而求得一元二次不等式的解集.
【详解】由图像可得当时，，所以二次函数，
由于二次函数图像过点，
所以，解得，
所以一元二次不等式，
即的解集为.
故选：C
练习2．（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考期中）若函数恒满足对称，则实数m的取值为______
【答案】
【详解】根据确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案.
函数恒满足对称，
则图象关于直线对称，则，
故答案为：
练习3．（2022秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（多选）二次函数的图像恒在轴上方的一个必要条件是（????）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】先由二次函数图象性质得出图像恒在轴上方的充要条件，再根据必要条件定义即可求.
【详解】二次函数的图像恒在轴上方的充要条件为，
又，所以必要条件为、.
故选：BD
练习4．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，且是方程的两根，则大小关系可能是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】，由题意得，，而，借助图象可知，
的大小关系可能是，
故选：D.
练习5．（2022秋·安徽合肥·高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（????）
A． B．6 C． D．3
【答案】C
【分析】由图可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求.
【详解】由直线，，知，又由二次函数的对称性和图象知顶点为，
所以，解得，由得，，则．
故选：C.
题型二 二次函数的单调性
例3．（2021秋·江苏苏州·高三统考期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，函数在上单调递增，合乎题意；
当时，则二次函数图象的对称轴方程为，
若函数在上单调递增，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
例4．（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（????）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定
【答案】B
【分析】根据偶函数的特点解出，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
【详解】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴，
则，由，
即，解得，∴，
函数图像抛物线开口向下，对称轴为，
则函数在区间上是减函数．
故选：B．
练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间单调递减，则实数的取值范围为__．
【答案】
【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知，然后求出的取值范围即可.
【详解】易知二次函数的单调递减区间为，
又因为函数在区间单调递减，
所以，
即，解得.
故答案为：.
练习7．（2022秋·海南·高三嘉积中学校考期中）已知在上为减函数，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一次函数、二次函数的性质及分段函数的单调性列不等式组求参数范围.
【详解】由在上递减，要使在R上递减，
所以
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