专题5.3 三角函数的图象与性质（解析版）.docxVIP

专题5.3三角函数的图象与性质

题型一

三角函数的值域

题型二

求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性

题型三

解三角不等式

题型四

由三角函数的值域（最值）求参数

题型五

根据单调求参数

题型六

根据对称求参数

题型七

由图象确定三角函数解析式

题型八

描述三角函数的变换过程

题型九

求图象变换前（后）的函数解析式

题型一 三角函数的值域

例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求的最小值是_____

【答案】/0.5

【分析】先应用换元法,再应用二次函数最值求解即得.

【详解】,

令,

,

当,.

故答案为:

例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为______．

【答案】

【分析】根据的范围，得的范围，数形结合可得的范围，从而可得函数的值域.

【详解】当时，，

则，所以，

所以函数的值域为.

故答案为：

练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当时，的最小值为（????）

A．5 B．4 C．2 D．1

【答案】B

【分析】令，由，可得，利用基本不等式求解即可.

【详解】令，由，可得，

所以，当且仅当时，即时取等.

故选：B.

练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数的最大值与最小值的和为（????）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】化简，得，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解.

【详解】

因为，所以，

所以，即，

所以当，即时，，

当，即时，，

所以.

故选：B

练习3．（2022·高三课时练习）函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．

【答案】

【分析】根据诱导公式，结合正切函数的单调性进行求解即可.

【详解】y＝tan(π－x)＝－tanx，在上为减函数，所以值域为(－，1)．

故答案为：(－，1).

练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域__________．

【答案】

【分析】运用二倍角公式及平方关系统一函数名称与角度，再配方可求解．

【详解】因为，

因为，

当时，取得最大值，

当时，取得最小值，

又因为，所以的值域为．

故答案为：.

练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知，若恒成立，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】若恒成立，即，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，求出，此时，则，由诱导公式即可得出答案.

【详解】，

其中，，所以当时，.

若恒成立，则，

此时，则，即，

.

故选：A.

题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性

例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简解析式，再求出正余弦函数的周期，最后判断函数的奇偶性，即可得出答案..

【详解】因为，函数的周期为π，

因为，所以是非奇非偶函数，A不正确；

因为，函数的周期为2π，B不正确；

因为，函数的周期为π，是偶函数，C不正确；

因为，函数的周期为π，是奇函数，D正确；

故选：D

例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数则（????）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图像关于直线对称

C．函数为偶函数

D．函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为

【答案】BD

【分析】利用最小正周期公式判断A，利用代入检验法判断B，根据偶函数的定义判断C，根据函数图象变换结论及诱导公式判断D.

【详解】对选项A：因为，所以的最小正周期为，错误；

对选项B：当时，，

所以是的一条对称轴，正确；

对选项C：易知函数的定义域为，

又，

所以函数不是偶函数，错误；

对选项D：函数的图像向左平移个单位后得到，

由题意，函数的图像关于轴对称，

所以，即，

当时，，

即函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为，D正确.

故选：BD

练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数，则（????）

A．函数的一条对称轴为

B．函数的一个对称中心为

C．函数的最小正周期为

D．若函数，则的最大值为2

【答案】ACD

【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，结合余弦函数的性质依次判断选项即可.

【详解】由题意得，

.

A：当时，，又，

所以是函数的一条对称轴，故A正确；

B：由选项A分析可知，所以点不是函数的对称点，故B错误；

C：由，知函数的最小正周期为，故C正确；

D：，所以，故D正确.

故选：ACD．

练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数，则以下结论中正确的是（????）

A．在上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴

C．的最小正周期为 D．在上的值域