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八年级上册考点总结

第一章因式分解

1因式分解

一,知识梳理

1.因式分解

?定义:把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解.

???????即：多项式几个整式的积

?例:??因式分解，应注意以下几点.

?1。因式分解的对象是多项式;

?2。因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

?3。分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止;

?4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

?5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

?6。题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

（1）提公因式法:

???定义：如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

??公因式:多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式或多项式.

?????

例：的公因式是?????????．

解析:从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、—8、6，它们的最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式的公因式是2.

提公因式的步骤

第一步:找出公因式;

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把分解因式。

??解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

????解：例2：把多项式分解因式

解析:由于，多项式可以变形为，我们可以发现多项式各项都含有公因式（),所以我们可以提取公因式(）后，再将多项式写成积的形式。

解：==例3：把多项式分解因式

????解：=?(2）运用公式法

??定义：把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

??

注意:?公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

???选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式.

例1：因式分解???解：=例2:因式分解???解：=?(3）分组分解法（拓展）

???将多项式分组后能提公因式进行因式分解；

例：把多项式分解因式

??解：==????将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

例：将多项式因式分解

解：=?

（4）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

????方法：常数项拆成两个因数,这两数的和为一次项系数

????????

????????????????例:分解因式?????????????分解因式补充点详解??????????????????补充点详解

我们可以将—30分解成p×q的形式，???????我们可以将100分解成p×q的形式,

使p+q=-1，p×q=-30,我们就有p=-6,???????使p+q=52,p×q=100，我们就有p=2,

q=5或q=—6,p=5.???????????????q=50或q=2,p=50。

所以将多项式可以分?????所以将多项式可以分

解为????????????????解为???5?????2

???????—6?????50

???

温馨提示：初三复习——初中数学全套知识点

3.因式分解的一般步骤:

???如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组、“四十字”.

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

一、例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。

确定公因式的方法：

系数—-取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)-—取各项都含有的字母(或多项式因式）的最低次幂。

【例1】分解因式：

??⑴（为正整数）

⑵（、为大于1的自然数）

【巩固】分解因式：,为正整数