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“数学分析”考试大纲

一、考试的学科范围

数学分析课程教学（大纲）基本要求的所有内容。

二、评价目标

主要考查考生对数学分析课程的基础理论、基本知识掌握和运用的情况，要

求考生应掌握以下有关知识：

1.掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式；掌握函数的有

界性、单调性、周期性和奇偶性；掌握复合函数及分段函数的概念、反函数的概

念及其应用；掌握基本初等函数的性质及其图形，掌握初等函数的概念。

2.理解并掌握数列（函数）极限的定义；掌握利用定义来描述极限问题并

利用定义证明极限的一些基本方法；熟悉极限唯一性，有界性，保号性的叙述和

证明并利用它们证明有关极限命题，了解归结原则的内容；熟悉运用定义，四则

运算、极限存在的判别方法、两个重要极限及柯西准则，判别极限的存在性；熟

悉数列与子数列间的关系；熟练掌握计算数列（函数）极限的基本方法；了解无

穷小量与无穷大量，无穷小量阶的比较，熟悉等价无穷小；会求曲线的渐近线。

3.掌握连续函数的概念及定义，掌握间断点的分类及其判定；掌握连续函

数的局部性质；掌握闭区间上连续函数的性质及其应用；掌握初等函数的连续性，

掌握一致连续的概念。

4.熟练掌握求导法则与基本求导公式；熟练掌握求函数的导数，特别是复

合函数的导数；熟悉导数的几何意义，会求函数的微分、高阶导数；熟悉函数在

一点连续，可导与可微之间的关系；了解微分的几何意义，近似计算。

5.熟悉导数的两个重要定理；了解几个简单函数的泰勒展式；熟练掌握利

用罗比塔法则求不定式的极限；熟悉利用导数研究函数的单调性，极值，最值，

凹凸性，拐点；了解函数作图的基本方法。

6.掌握实数连续性的几个基本定理的内容，了解应用定理证明问题的方法

步骤。

7.熟悉原函数与不定积分的概念；熟练掌握线性运算法则，换元积分法与

分部积分法；熟悉有理函数、三角函数有理式及其某些无理根式的不定积分。

8.熟悉定积分的概念；了解上和与下和的概念，熟悉可积准则，可积的必

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要条件，可积的充要条件；熟悉可积函数类；掌握可变上限定积分的性质，积分

中值定理；熟练掌握线性性质、换元积分法、分部积分法，利用牛莱公式计算定

积分。

9.熟悉定积分的几何应用；了解定积分在物理上的应用；熟悉“微元法”。

10.会讨论反常积分的敛散性及绝对收敛与条件收敛性；熟悉收敛的反常积

分的计算。

11.熟悉数项级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念及其收敛级数

的基本性质；熟练掌握正项级数敛散性的判别法；掌握交错级数与莱布尼兹判别

法；掌握几何级数与P级数的敛散性；熟悉绝对收敛与条件收敛的概念与判定；

掌握阿贝耳判别法与狄利克雷判别法。

12.理解并掌握函数列与函数项级数一致收敛的概念；熟悉函数列一致收敛

的充要条件定理；掌握函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯优级数判别法；熟悉

函数列与函数项级数和函数的分析性质及其证明，并会应用；熟悉一致收敛柯西

准则，阿贝耳判别法与狄利克雷判别法。

13.会求幂级数的收敛半径、收敛域、和函数；了解泰勒定理的内容，幂级

数的性质与运算；熟悉几个初等函数的幂级数展开式并会间接求某些函数的泰勒

展开式。

14.熟悉三角函数的正交性与函数的傅里叶级数的概念；熟悉收敛定理的内

容，了解收敛定理的证明；会求某些函数的傅里叶级数展开式。

15.熟悉多元函数、多元函数的极限、累次极限与连续性等概念，会求二重

极限、累次极限，会讨论函数的连续性；了解闭区域套定理，聚点定理，有