2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.3 用公式法求解一元二次方程.docx

第1课时公式法

课时目标

1.在教师的指导下,学生能够正确地推导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力.

2.不解方程,会用一元二次方程根的判别式判断出方程的根的情况,并在此过程中,培养学生观察和总结的能力.

3.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.

学习重点

用求根公式解一元二次方程.

学习难点

推导一元二次方程的求根公式.

课时活动设计

复习引入

用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x;(2)3x2+2x+1=0.

全班同学在练习本上运算,可找一名同学上黑板演算.

由学生总结用配方法解方程的一般方法.

解:(1)2x2+3=7x.

将方程化成一般形式,得2x2-7x+3=0.

两边同时除以二次项系数2,得x2-72x+3

移项,得x2-72x=-3

配方,得x2-72x+742=-32+74

两边开平方,得x-74=±5

即x1=3,x2=12

(2)3x2+2x+1=0.

两边同时除以二次项系数3,得x2+23x+1

移项,得x2+23x=-1

配方,得x2+23x+132=-13+13

∵-29

∴原方程无解.

设计意图:进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.选择了一个没有解的方程,让学生切实的感受到并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解.

自主探究

探究1任何一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),能否也用配方法得出ax2+bx+c=0的解呢?

学生在演算纸上自主推导,并针对自己在推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨.最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式.

解:两边同时除以二次项系数a,得x2+bax+ca

问:为什么可以两边同时除以二次项系数a?

答:因为a≠0.

配方,得x2+bax+b2a2-

即x+b2a2-b

问:现在可以两边开平方吗?

答:不可以,因为不能保证b2-

问:什么情况下b2

学生讨论后回答:

∵a≠0,∴4a20.

要使b2-4ac4a2

∴当b2-4ac≥0时,两边开平方取“±”得

x+b2a=±b2-4ac4

x=-b2a±b2-4

问:如果b2-4ac0时,会出现什么问题?

答:方程无解.

问:如果b2-4ac=0呢?

答:方程有两个相等的实数根.

注意事项:学生的主要问题通常出现在这样的几个地方:

(1)x2+bax+b2a2-b24a2

(2)未意识到只有当b2-4ac≥0时,两边才能开平方.

(3)两边开平方,忽略取“±”.

探究2归纳总结公式法的定义和根的判别式.

小结:(1)我们把x=-b±b2

(2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根;当b2-4ac0时,方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示.

设计意图:让学生亲身经历公式的推导过程,一方面可以巩固配方法,另一方面有助于理解求根公式.

典例精讲

1.判断下列方程是否有解.(学生口答)

(1)2x2+3=7x;(2)x2-7x=18;(3)3x2+2x+1=0;

(4)9x2+6x+1=0; (5)16x2+8x=3; (6)2x2-9x+8=0.

学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况.

问:判断第(3)题是否有解,公式法与配方法对比,哪种方法更简捷?

2.上述方程如果有解,求出方程的解.

学生口述,教师板书第(1)(4)题.

(1)解方程:2x2+3=7x.

解:先将方程化成一般形式,得2x2-7x+3=0.

确定a,b,c的值分别为a=2,b=-7,c=3.

∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=250,

∴原方程有两个不相等的实数根.

∴x=-b±b2-

即x1=3,x2=12

问:与配方法相比较,哪种解法更简捷?

(4)解方程:9x2+6x+1=0.

解:确定a,b,c的值分别为a=9,b=6,c=1.

∵b2-4ac=62-4×9×1=0,

∴原方程有两个相等的实数根.

∴x=-b±b2-4ac

即x1=x2=-13

剩下的题目,教师可根据时间情况选择使用,个别学生上黑板做题,其他同学在座位上练习.

设计意图:通过分析典