2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.6 应用一元二次方程.docx

第1课时应用一元二次方程(一)

课时目标

1.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.

2.在列方程解决实际问题的过程中,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般步骤,进一步提高分析问题、解决问题的能力.

学习重点

应用一元二次方程解决实际问题.

学习难点

根据问题中的等量关系列一元二次方程.

课时活动设计

复习引入

列方程解决实际问题的基本步骤有哪些?

(1)审:分清已知未知,明确数量关系;

(2)设:设未知数;

(3)列:列方程;

(4)解:解方程;

(5)验:根据实际验结果;

(6)答:写出答案.

设计意图:通过循序渐进的方法,复习列方程解决问题的基本步骤,为本节内容的学习作铺垫.

探究新知

提出问题:还记得本章开始时梯子下滑的问题吗?

1.如图,梯子顶端下滑1m时,梯子底端滑动的距离大于1m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢?

2.如果梯子长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗?如果相等,那么这个距离是多少?

分组讨论:(1)怎么设未知数?在这个问题中存在怎样的等量关系?如何利用勾股定理来列方程?

(2)涉及到解的取舍问题,应引导学生根据实际问题进行检验,决定解到底取哪一个值.

解:(1)设梯子顶端下滑xm时,梯子底端滑动的距离和它相等.

梯子底端原来离墙的距离102

根据题意,得(8-x)2+(6+x)2=102,

解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去).

所以梯子顶端下滑2m时,梯子底端滑动的距离和它相等.

(2)梯子顶端下滑距离可以与梯子底端滑动距离相等.

设梯子顶端下滑xm时,梯子底端滑动距离与它相等.

梯子底端原来离墙距离132

根据题意,得(12-x)2+(5+x)2=132,

解得x1=7,x2=0(不合题意,舍去)

所以梯子顶端下滑7m时,梯子底端滑动的距离与它相等.

设计意图:本环节以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材,以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点,用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望,用学生已有的知识为支点,进一步让学生体会数形结合的思想.

典例精讲

如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200nmile处有一重要目标B,在B的正东方向200nmile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.

已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1nmile)

分析:解决实际应用问题的关键是审清题意;分析各量之间的关系,找准各条有关线段的长度关系;建立方程模型,之后求解.

问题:

1.要求DE的长,需要如何设未知数?

2.怎样建立含DE未知数的等量关系?从已知条件中能找到吗?

3.利用勾股定理建立等量关系,如何构造直角三角形?

4.选定Rt△DEF后,三条边长都是已知的吗?DE,DF,EF的长度分别是多少?

学生在问题串的引导下,逐层分析,在分组讨论后找出题目中的等量关系,即:

速度等量:V军舰=2×V补给船;

时间等量:t军舰=t补给船;

三边数量关系:EF2+FD2=DE2.

弄清图形中线段长表示的量:已知AB=BC=200nmile,DE表示补给船的路程,AB+BE表示军舰的路程.

学生在此基础上选准未知数,用未知数表示出线段DE,EF的长,根据勾股定理列方程求解,并判断解的合理性.

解:如图,连接DF.

∵AD=CD,BF=CF,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB,DF=12

∵AB⊥BC,AB=BC=200nmile,∴DF⊥BC,DF=100nmile,BF=100nmile.

设相遇时补给船航行了xnmile,

那么DE=xnmile,

AB+BE=2xnmile,

EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.

在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,

整理,得3x2-1200x+100000=0.

解得x1=200-10063≈118

x2=200+10063

所以相遇时补给船航行了大约118.4nmile.

设计意图:通过问题串的设立,将比