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东北师大附中2024—2025学年高三年级(数学)科试卷
上学期假期作业验收考试
考试时长:120分钟满分:120分
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则集合与集合的关系是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合中函数的值域,集合中函数的定义域,得到这两个集合,可判断集合间的关系.
【详解】函数值域为,函数定义域为,
即,,所以有.
故选:C.
2.已知等差数列的前8项和为68,,则()
A.300 B.298 C.295 D.296
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列公差为,根据题意列出方程组求得,结合等差数列的通项公式,即看求解.
【详解】设等差数列的公差为,
因为等差数列的前8项和为,可得,
即,即,
又由,可得,
联立方程组,解得,
所以.
故选:C.
3.设:实数,满足且;:实数,满足;则是的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先考查是否成立,再考查是否成立,即可得结论.
【详解】解:因为且,所以,即成立;
反之若,满足,如,但不满足且,即不成立,
所以是的充分不必要条件.
故选:A.
4.若为偶函数,则()
A B.0 C. D.1
【答案】B
【解析】
【分析】由求出,代入,检验是否满足题意.
【详解】的自变量需满足,
解得:或,
若为偶函数,则,
所以,解得:,
所以,
.
所以为偶函数,满足题意.
故选:B.
5.若关于的不等式在区间上有解,则a的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分离常数法得出不等式在上能成立,根据函数在上的单调性,求出的取值范围.
【详解】关于的不等式在区间上有解,
在上有解,
即在上能成立,
所以,
设函数,,
因为函数在区间上单调递减,在区间上是单调递增,
又,,,
所以当时,函数取最大值,最大值为,
即的取值范围是.
故选:D.
6.设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据为奇函数,为偶函数,可得函数的周期,且为偶函数,根据时,,求的值得此时解析式,即可求得的值.
【详解】为奇函数,,所以关于对称,所以①,且,
又为偶函数,,则关于对称,所以②,
由①②可得,即,所以,
于是可得,所以的周期,
则,所以为偶函数
则,所以,所以
所以,解得,所以当时,
所以.
故选:B.
7.已知,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数,判断函数单调性,代入数值可比较大小.
【详解】设,,
时,,为减函数,
时,,为增函数,所以,
,即.
设,,
时,,为增函数,
时,,为减函数,
所以,,即,所以.
设,,
为增函数,所以,所以,即.
故选:D
8.已知函数,若方程有三个不相等的实数解,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,求导可得f′x,画出函数的大致图像,令,可得
等价于,然后构建,结合二次函数根的分布,分别讨论,代入计算,即可求解.
【详解】由题意可知:的定义域为R,则,
当时,f′x0;当时,f
可知在内单调递减,在1,+∞内单调递增,可得,
且当趋近于时,趋近于;当趋近于时,趋近于0;
作出的图象,如图所示,
对于关于x的方程,
令,可得,整理得,
且不为方程根,
可知方程等价于,
若方程有三个不相等的实数解,
可知有两个不同的实数根,
且或或,
构建,
若,则,解得;
若,则,解得,
此时方程为,解得,不合题意;
若,则,解得,
此时方程为,解得,不合题意;
综上所述:实数a的取值范围为.
故选:A
【点睛】关键点睛:本题主要考查了利用导数研究函数图象问题,以及函数零点问题,难度较大,解答本题的关键在于画出函数的大致图象,以及将方程根的问题进行转化进行求解.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数,若,且,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】作出函数的图象,设,则直线与函数的图象个交点横坐标分别为,可得出,再结合对称性与对数运算即可得正确选项.
【详解】函数的图象如图所示,
设,则,
则直线与函数的图象个交点横坐标分别为,
对于A:函数的图象关于直
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