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2025年中考数学复习专题讲座十三：动点型问题（三）

（函数引动点产生的相似三角形问题、以圆为载体的动点问题）

一、中考专题诠释

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们

在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键

是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、

解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近

几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲

解决动点问题的关键是“动中求静”.

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图

形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图

形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点

的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做

好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探

究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲

专题五：函数引动点产生的相似三角形问题

函数因动点产生的相似三角形问题一般有三个解决途径：

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边

．

和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角

．

形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定

理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进

而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1（2019•义乌市）如图1，已知直线ykx与抛物线y

交于点A（3，6）．

（1）求直线ykx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于

点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂

线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定

值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上

（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足

∠BAE∠BED∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点

的个数分别是1个、2个？

思路分析：（1）利用待定系数法求出直线ykx的解析式，根据A

点坐标用勾股定理求出线段OA的长度；

（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相

似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相

似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点

的位置不同时，这个结论依然成立；

（3）由已知条件角的相等关系∠BAE∠BED∠AOD，可以得到△ABE

∽△OED．设OEx，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达

式（），这是一个二次函数．借助此二次函数

图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长

度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分

析二次函数的图象与性质问题．

另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要

首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利

用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．

解：（1）把点A（3，6）代入ykx得；

∵63k，

∴k2，

∴y2x．（2分）

OA．…（3分）

（2）是一个定值，理由如下：

如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时；

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH∠GQN，

又∵∠QHM∠QGN90°

∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

当点P、