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2023届安徽省蚌埠铁中徐汇区学习能力诊断卷数学试题试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数且的图象恒过定点,则函数图象以点为对称中心的充要条件是()
A. B.
C. D.
2.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()
A. B. C. D.
3.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到次结束为止.某考生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围为()
A. B. C. D.
4.设,随机变量的分布列是
0
1
则当在内增大时,()
A.减小,减小 B.减小,增大
C.增大,减小 D.增大,增大
5.已知函数,若有2个零点,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
6.已知,且,则()
A. B. C. D.
7.已知平面向量,满足且,若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为()
A. B. C. D.1
8.已知平面向量,,满足:,,则的最小值为()
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()
A.1 B.2 C.-1 D.-2
10.若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为()
A. B. C. D.
11.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()
A. B.4 C.2 D.
12.已知α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,则“α∥β是“l∥β”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知抛物线,点为抛物线上一动点,过点作圆的切线,切点分别为,则线段长度的取值范围为__________.
14.若实数满足约束条件,设的最大值与最小值分别为,则_____.
15.如图在三棱柱中,,,,点为线段上一动点,则的最小值为________.
16.如图,在长方体中,,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面EFG,则线段长度的最小值是________________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中,居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图:
(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布,近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P();
(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于可获赠2次随机话费,得分低于则只有1次:
(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费(单位:元)
10
20
概率
现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.附:,若,则,.
18.(12分)底面为菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如图所示的几何体.若,.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
19.(12分)已知,,且.
(1)求的最小值;
(2)证明:.
20.(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求B;
(2)若,求的面积的最大值.
21.(12分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数在区间上的最小值为,求m的值.
22.(10分)已知数列的前项和为,且满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
由题可得出的坐标为,再利用点对称的性质,即可求出和.
【详解】
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