3.1.1函数的概念（八个重难点突破）（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）.docx

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3.1.1函数的概念

一、区间的表示及运算

五、同一个函数的判断

二、函数关系的判断

六、求抽象函数的定义域

三、求函数值或由函数值求参

七、求简单函数的值域

四、求具体函数的定义域

八、由函数的定义域或值域求参数

知识点1区间

1．区间的概念(为实数,且)

定义

名称

符号

数轴表示

闭区间

开区间

半闭半开区间

半开半闭区间

2．其他区间的表示

定义

符号

重难点一区间的表示及运算

【例1】用区间或集合表示下列数集：

（1）；

（2）＝．

【答案】

【详解】（1）；（2）。

故答案为：；

【例2】已知区间，则实数a的取值范围为．（用区间表示）

【答案】

【详解】由，得．即.

故答案为：．

【变式1-1】用区间表示下列集合：

①；

②；

③.

【答案】

【详解】，

，

.

【变式1-2】不等式组的解集用区间表示为．

【答案】

【详解】由可得，所以.

所以，不等式组的解集为.

故答案为：.

【变式1-3】已知全集，集合，，求，，．

【答案】；；

【详解】因为全集，集合，，

则，，

所以；；．

知识点2函数的概念

1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.

2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．

3．对应关系

除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．

注意：

（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．

（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．

（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．

重难点二函数关系的判断

【例3】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（?????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应，

显然A、B、C符合题意，

而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义.

故选：D

【例4】已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应.

A选项中，当时，，故A不能构成函数；

B选项中，当时，，故B不能构成函数；

C选项中，当时，，故C不能构成函数；

D选项中，当时，，当时，，当时，，故D能构成函数.

故选：D.

【变式2-1】下列四种说法中，不正确的是（填序号）．

①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；

②函数的定义域和值域一定是无限集合；

③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；

④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．

【答案】②

【详解】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确；

若函数,定义域为，但值域为，故②错误，

定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确，

由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确，

故答案为：②

【变式2-2】下列对应关系中是A到B的函数的是（???）

A．，，

B．，，对应关系如图：

??

C．，，f：

D．，，f：

【答案】B

【详解】对于A，，一个可以对应两个，不满足函数定义，故A错误；

对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确；

对于C，中，，而，故集合中的元素2在集合中没有对应的值，故C错误；

对于D，，所以，集合，故集合中有的元素（比如0）在集合中没有对应的值，故D错误.

故选：B

【变式2-3】（多选）下列各图象中，是函数图象的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】对于A，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以A错误，

对于B，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以B正确，

对于C，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以C错误，

对于D，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以D正确.

故选：BD

重难点三求函数值或由函数值求参

【例5】已知函数y=fx的对应关系如下表，函数y=gx的图象如图